Тип 14 № 15814

а) Учтем, что подлогарифмическое должно быть больше нуля: $\sin x > 0$. Обозначим это (*)

Преобразуем логарифмы: $$\log_{0.5} (\sin^2 x) = \frac{\log_2 (\sin^2 x)}{\log_2 0.5} = \frac{2\log_2 (\sin x)}{-1} = -2\log_2 (\sin x).$$

Подставим в уравнение: $$4\log_2^2 (\sin x) - 3 \cdot (-2\log_2 (\sin x)) + 2 = 0,$$ $$4\log_2^2 (\sin x) + 6\log_2 (\sin x) + 2 = 0.$$

Пусть $t = \log_2 (\sin x)$, тогда: $$4t^2 + 6t + 2 = 0.$$ $$2t^2 + 3t + 1 = 0.$$ $$D = 9 - 8 = 1.$$ $$t = \frac{-3 \pm 1}{4} = \begin{cases} t_1 = -\frac{1}{2}, \\ t_2 = -1. \end{cases}$$

Возвращаемся к исходной переменной:

1. $\log_2 (\sin x) = -\frac{1}{2}$ $\sin x = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

   С учётом (*) ($\sin x > 0$): $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\log_2 (\sin x) = -1$ $\sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

   С учётом (*) ($\sin x > 0$): $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Итак, корни уравнения: $${\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности.

$$- 3\pi - \frac{\pi}{6} = - \frac{19\pi}{6}$$

$$-3 \pi - \frac{\pi}{4} = - \frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{19\pi}{6}; -\frac{13\pi}{4}.$$

Ответ: а) ${\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${-\frac{19\pi}{6}; -\frac{13\pi}{4}}.$