Тип 14 № 15815

а) Учтем, что подлогарифмическое должно быть больше нуля: $\cos 2x > 0$. Обозначим это (*)

Преобразуем логарифмы: $$\log_{\frac{1}{16}} (\cos 2x) = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{\log_2 \frac{1}{16}} = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{-4} = -\frac{1}{4} \log_2 (\cos 2x).$$

Также: $$\log_4 (\cos 2x) = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{2}.$$

Подставим в уравнение: $$\left( \frac{\log_2 (\cos 2x)}{2} \right)^2 = -\frac{1}{4} \log_2 (\cos 2x).$$

Умножим на 4: $$\log_2^2 (\cos 2x) = -\log_2 (\cos 2x).$$ $$\log_2^2 (\cos 2x) + \log_2 (\cos 2x) = 0.$$ $$\log_2 (\cos 2x) \cdot (\log_2 (\cos 2x) + 1) = 0.$$

Отсюда:

1. $\log_2 (\cos 2x) = 0$

   $\cos 2x = 2^0 = 1$

   С учётом (*) ($\cos 2x > 0$): $2x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

   $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\log_2 (\cos 2x) = -1$

   $\cos 2x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

   С учётом (*) ($\cos 2x > 0$): $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

   $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Итак, корни уравнения: $${\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности.

$$3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$$

$$4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$$

$$4\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi; \frac{19\pi}{6}; \frac{23\pi}{6}; 4\pi; \frac{25\pi}{6}.$$

**Ответ: а)**${\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

**б)**$3\pi;\ \frac{19\pi}{6};\ \frac{23\pi}{6};\ 4\pi;\ \frac{25\pi}{6}.$