Тип 14 № 15822

а) {1. Введем ограничения для первого множителя (*):} $$4x^{2} - 1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} \ge \frac14 \quad\Rightarrow\quad x \le -\frac12 \ \text{или}\ x \ge \frac12.$$

{2. Приравниваем каждый множитель к нулю.}

{Первый множитель:} $$\sqrt{4x^{2} - 1} = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x^{2} - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} = \frac14.$$ $$x = \pm\frac12.$$

{Второй множитель:} $$4^{3x+1} - 26 \cdot 8^{x} + 12 = 0.$$ Преобразуем: $$4\cdot 4^{3x} - 26 \cdot 8^{x} + 12 = 0.$$ $$4\cdot (2^{2})^{3x} - 26 \cdot (2^{3})^{x} + 12 = 0,$$ $$4\cdot 2^{6x} - 26 \cdot 2^{3x} + 12 = 0.$$

Пусть $t = 2^{x} > 0$, тогда $2^{3x} = t^{3}$, $2^{6x} = t^{6}$.

$$4t^{6} - 26t^{3} + 12 = 0.$$

Сделаем замену $u = t^{3} > 0$:

$$4u^{2} - 26u + 12 = 0,$$ $$2u^{2} - 13u + 6 = 0,$$ $$D = 169 - 48 = 121,$$ $$u = \frac{13 \pm 11}{4},$$ $$u_1 = 6, \quad u_2 = \frac12.$$

{Возвращаемся к $t$:}

1. $t^{3} = 6 \Rightarrow t = \sqrt[3]{6} \Rightarrow 2^{x} = \sqrt[3]{6} \Rightarrow x = \dfrac{\log_{2}6}{3}.$

2. $t^{3} = \dfrac12 \Rightarrow t = 2^{-1/3} \Rightarrow 2^{x} = 2^{-1/3} \Rightarrow x = -\dfrac13.$

{3. Проверим, удоалетворяют ли полученные корни условию (*).}

• $x = \pm\frac12$ - удовлетворяют.
• $x = \dfrac{\log_{2}6}{3}$: $$\log_{2}6 = \log_{2}(2\cdot 3) = 1 + \log_{2}3 \approx 2.585.$$ Тогда $x \approx 0.8617 > \frac12$ — удовлетворяет.
• $x = -\frac13$: $$4\left(-\frac13\right)^{2} - 1 = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9} < 0.$$ Условие $4x^{2} - 1 \ge 0$ не выполняется, поэтому $x = -\frac13$ - посторонний корень.

{Итак, корни уравнения:} $${-0.5, \; 0.5, \; \frac{\log_2 6}{3}.}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -1; 1 \right]$:

1. $x = \frac{1}{2} \in [-1, 1]$.

2. $x = -\frac{1}{2} \in [-1, 1]$.

3. $x = \frac{\log_2 6}{3}$. Оценим: $$\log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = 1 + \log_2 3 \approx 1 + 1.585 = 2.585,$$ $$\frac{\log_2 6}{3} \approx 0.8617 < 1.$$ Так как $\frac{\log_2 6}{3} > 0$, проверим левую границу: $$\frac{\log_2 6}{3} > -1.$$ Следовательно, $x = \frac{\log_2 6}{3} \in [-1, 1]$.

Корни, принадлежащие отрезку: $$-0.5, \; 0.5, \; \frac{\log_2 6}{3}.$$

Ответ: а) $-0.5, \; 0.5, \; \frac{\log_2 6}{3}.$

б) $-0.5, \; 0.5, \; \frac{\log_2 6}{3}.$