Тип 20 № 15827

а)

Проверим, возможно ли, чтобы трёхзначное число было в девять раз больше произведения своих цифр, то есть: $$100a + 10b + c = 9abc.$$ Подставим подходящие значения, чтобы проверить это равенство. Пусть $a = 1$, $b = 3$, $c = 5$. Тогда: $$\overline{abc} = 100 \cdot 1 + 10 \cdot 3 + 5 = 135, \quad abc = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15.$$ Действительно, $135 = 9 \cdot 15$. Значит, такой случай возможен.

б)

Теперь проверим, возможно ли равенство: $$100a + 10b + c = 2abc.$$ Заметим, что правая часть чётная, значит и левая также должна быть чётной. Следовательно, $c$ — чётная цифра. Переберём возможные значения $c = 2, 4, 6, 8$, и для каждого значения подставим выражение в уравнение.

• При $c = 2$: $$50a + 5b + 1 = 2ab \Rightarrow 2a(25 - b) + 5b + 1 = 0.$$
• При $c = 4$: $$50a + 5b + 2 = 4ab \Rightarrow 2a(25 - 2b) + 5b + 2 = 0.$$
• При $c = 6$: $$50a + 5b + 3 = 6ab \Rightarrow 2a(25 - 3b) + 5b + 3 = 0.$$ При $b \leq 8$:
  $b = 9 \Rightarrow -4a + 48 = 0 \Rightarrow a = 12 > 9$.
• При $c = 8$: $$50a + 5b + 4 = 8ab \Rightarrow 2a(25 - 4b) + 5b + 4 = 0.$$ При $b = 7$:
  $-6a + 35 + 4 = 0 \Rightarrow a = 6.5$. $b = 8$:
  $-14a + 44 + 4 = 0 \Rightarrow a = \frac{22}{7}$.
  $b = 9$:
  $-22a + 46 + 4 = 0 \Rightarrow a = \frac{49}{22}$.

Ни один из вариантов не подошёл, значит это невозможно.

в)

Требуется найти наибольшее значение дроби: $$\frac{\overline{abc}}{abc} = n.$$ Представим это как: $$\frac{100a + 10b + c}{abc} = \frac{100}{bc} + \frac{10}{ac} + \frac{1}{ab}.$$ Чтобы выражение было наибольшим, нужно минимизировать знаменатели, то есть взять $a = b = c = 1$: $$\frac{100}{1} + \frac{10}{1} + \frac{1}{1} = 111.$$

Ответ:
а) Да, возможно.
б) Нет, невозможно.
в) Наибольшее значение — $111$.