Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор следующим образом:
- к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой оно было записано ;
- вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а)Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б)Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в)Найдите наибольшее возможное значение отношения суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 19
Решение:
NON
а)
Рассмотрим набор, в котором присутствуют как однозначные, так и двузначные числа. Пусть в набор входят числа , , .
- Однозначное число становится (приписали ту же цифру).
- Двузначное число заменяется на .
Тогда: Получается, — условие выполняется. Ответ — да, возможно.
б)
Пусть в первом наборе: , .
- ,
- .
Да, сумма первого набора может быть в два раза больше суммы второго.
в)
Нужно найти наибольшее возможное значение отношения если:
- В первом наборе одинаковых чисел не было;
- Количество однозначных и двузначных чисел одинаково.
Обозначим:
- — однозначное число (в первом наборе), тогда после преобразования: (число с одинаковыми цифрами).
- — двузначное число, оно переходит в .
Пусть , .
Тогда отношение:
Упростим числитель:
Покажем, что максимум этого отношения — 5.
Найдём максимальное значение дроби при допустимых .
Пусть (максимум), (минимум). Тогда:
То есть отношение может быть максимум 5.
Проверим, можно ли достичь этого. Возьмём: Тогда:
Значит, максимум достижим.
Ответ:
а) Да, может.
б) Да, может.
в) Максимальное значение отношения — .