Тип 20 № 15837

Решение.

Обозначим:

• $D$ — количество девочек,
• $M$ — количество мальчиков,
• $S = D + M$ — общее количество учащихся.

По условию: $11 \leq S \leq 28$ и $\dfrac{D}{S} \leq 0{,}22$.

а) Проверим, может ли в классе быть 4 девочки.

Подставим $D = 4$ в неравенство: $$\dfrac{4}{S} \leq 0{,}22 \Rightarrow S \geq \dfrac{4}{0{,}22} = \dfrac{400}{22} = 18{,}18\ldots$$ Так как $S$ — целое число, то $S \geq 19$. Это удовлетворяет условию $11 \leq S \leq 28$.

Например, при $S = 20$: $\dfrac{4}{20} = 0{,}2 = 20\% < 22\%$.

Вывод: Да, в классе может быть 4 девочки.

б) После прихода новой девочки: девочек становится $D + 1$, учеников — $S + 1$.

Проверим, возможно ли, чтобы: $$\dfrac{D + 1}{S + 1} = 0{,}3$$ Преобразуем: $$\dfrac{D + 1}{S + 1} = \dfrac{3}{10} \Rightarrow 10(D + 1) = 3(S + 1) \Rightarrow 10D + 10 = 3S + 3 \Rightarrow 10D = 3S - 7 \Rightarrow D = \dfrac{3S - 7}{10}$$

Проверим, для каких $S$ в допустимом диапазоне $11 \leq S \leq 28$ значение $D$ целое.

Подставим $S = 19$: $$D = \dfrac{3 \cdot 19 - 7}{10} = \dfrac{57 - 7}{10} = 5.$$ Проверка: $$\text{После прихода девочки: } D + 1 = 6,\quad S + 1 = 20, \quad \dfrac{6}{20} = 0{,}3 = 30\%$$ Но при $S = 19$ и $D = 5$ до прихода девочки: $$\dfrac{5}{19} \approx 0{,}263 > 0{,}22$$ — противоречие условию.

Пробуем другие значения $S$, но $D$ должен оставаться не более $\dfrac{11}{50} S$.

При других $S$ (например, $S = 29$), соответствующие $D$ нецелые или не подходят под условие.

Вывод: Нет, доля девочек не может составить 30% после прихода новой девочки.

в)

Пусть до прихода новой девочки в классе было $D$ девочек и $S$ учащихся, где $$11 \le S \le 28, \qquad \frac{D}{S} \le \frac{11}{50}.$$

После прихода новой девочки девочек стало $D+1$, а всего учащихся — $S+1$. По условию доля девочек после этого составила целое число процентов, то есть $$\frac{D+1}{S+1} = \frac{r}{100},$$ где $r$ — целое число, которое нужно сделать максимально возможным.

Из неравенства для исходного класса получаем: $$D \le \frac{11}{50} S.$$

Подставим это в выражение для новой доли: $$\frac{D+1}{S+1} \le \frac{\frac{11}{50}S + 1}{S+1}.$$

Правая часть возрастает при уменьшении $S$, поэтому для максимума берём минимально возможное $S$. Перебор допустимых значений $S$ показывает, что наибольшее целое значение $r$, при котором существуют целые $D$ и $S$, удовлетворяющие всем условиям, равно $25$.

Покажем, что оно достигается.

Возьмём $S = 23$, $D = 5$. Тогда: $$\frac{5}{23} \approx 0{,}217 < 0{,}22,$$ то есть исходное условие выполнено.

После прихода новой девочки: $$\frac{6}{24} = 0{,}25 = 25\%.$$

Попытка получить $26\%$ невозможна, так как для этого потребовалось бы $$\frac{D+1}{S+1} \ge 0{,}26,$$ что при всех допустимых $S$ приводит к нарушению условия $\dfrac{D}{S} \le 0{,}22$.

Следовательно, наибольшее возможное целое значение доли девочек — $25\%$.

Ответ:
а) да;
б) нет;
в) 25