Тип 20 № 15863

а) Пусть первый член последовательности равен $x$. Пусть второй член в $8$ раз больше первого, то есть равен $8x$, а третий в $8$ раз меньше второго, то есть равен $x$. По условию сумма всех членов равна $4040$, значит $$x + 8x + x = 4040.$$ Отсюда $$10x = 4040 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4040}{10} = 404.$$ Тогда последовательность имеет вид $$404,\; 3232,\; 404,$$ и удовлетворяет всем условиям задачи. Следовательно, последовательность из трёх членов возможна.

б) Рассмотрим пару соседних членов $a_1$ и $a_2$. Не умаляя общности, пусть $a_1 > a_2$. Тогда $a_1 = 8a_2$. Обозначим $a_2 = k$, тогда $$a_1 + a_2 = 8k + k = 9k,$$ то есть сумма любых двух соседних членов кратна $9$.

В последовательности из четырёх членов можно разбить все члены на две непересекающиеся пары соседних чисел, каждая из которых имеет сумму, кратную $9$. Следовательно, и сумма всех четырёх чисел кратна $9$.

Однако $$4040 \not\equiv 0 \pmod{9}.$$ Противоречие. Значит, последовательность из четырёх членов невозможна.

в) В пункте (б) было показано, что сумма любых двух соседних членов кратна $9$. Так как все члены последовательности — натуральные числа, то сумма двух соседних членов не меньше $9$.

Следовательно, количество таких пар не превосходит $$\frac{4040}{9} = 448\frac{8}{9}.$$ Так как число пар — целое, их не более $448$. Значит, количество членов последовательности не превосходит $$2 \cdot 448 + 1 = 897.$$

Покажем, что это значение достижимо. Рассмотрим последовательность вида $$a_1 = 8,\quad a_2 = 1,\quad a_3 = 8,\quad a_4 = 1,\quad \ldots$$ Всего $897$ членов. В этой последовательности $449$ восьмёрок и $448$ единиц. Сумма всех членов равна $$449 \cdot 8 + 448 \cdot 1 = 3592 + 448 = 4040.$$ Все условия задачи выполнены.

Следовательно, наибольшее возможное количество членов равно $897$.

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) Нет
• [в)]в) $897$