Тип 19 № 17763

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим два случая.

Если $x^2 + y^2 > 1$, то, раскрывая модуль, находим: $$2x - 2y - 2 = x^2 - y^2 - 1 \Leftrightarrow -2x + y^2 + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (y + 1)^2 = 1.$$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_1(1;\,-1)$ и радиусом 1.

Если $x^2 + y^2 \leqslant 1$, то $$2x - 2y - 2 = 1 - x^2 - y^2 \Leftrightarrow x^2 - y^2 - 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 + (y - 1)^2 = 5.$$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_2(-1;\,1)$ и радиусом $\sqrt5$.

Эти окружности пересекаются в двух точках $A(1;\,0)$ и $B(0;\,-1)$, лежащих на окружности $x^2 + y^2 = 1$, поэтому в первом случае получаем дугу $\omega_1$ с концами в точках $A$ и $B$, во втором — дугу $\omega_2$ с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую, которая проходит через точку $A$ и угловой коэффициент которой равен $a$.

При $a = 1$ прямая $m$ проходит через точки $A$ и $B$, то есть система имеет два решения.

При $a = 2$ прямая $m$ перпендикулярна прямой $y = -\dfrac{1}{2}x$ (угловой коэффициент которой равен $-\dfrac{1}{2}$), значит, прямая $m$ касается дуги $\omega_2$ в точке $A$ и пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках (одна из которых — точка $A$), то есть исходная система имеет два решения.

При $1 < a < 2$ прямая $m$ пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в одной точке, отличной от точки $B$, то есть исходная система имеет три решения.

При $0 < a < 1$ прямая $m$ не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках, отличных от точки $A$, то есть исходная система имеет одно решение.

При $a < 0$ или $a > 2$ прямая $m$ пересекает дугу $\omega_1$ и не пересекает дугу $\omega_2$ в точках, отличных от точки $A$, то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $1 < a < 2$.

Ответ: $1 < a < 2$.