Тип 16 № 20153

Преобразуем неравенство: $$2\left(50^x+8^x\right)>20^x+3\cdot125^x$$ $$2\cdot\left(2^x\cdot5^{2x}\right)+2\cdot2^{3x}-2^{2x}\cdot5^x-3\cdot5^{3x}>0$$

Разделим обе части неравенства на $2^{3x}>0$: $$2\cdot\frac{5^{2x}}{2^{2x}}+2-\frac{5^x}{2^x}-3\cdot\frac{5^{3x}}{2^{3x}}>0$$

Сделаем замену $t=\left(\frac{5}{2}\right)^x>0$. Тогда неравенство примет вид $$2t^2+2-t-3t^3>0$$ $$3t^3-2t^2+t-2<0$$ $$3t^3-3t^2+t^2+t-2<0$$ $$3t^2(t-1)+(t-1)(t+2)<0$$ $$(t-1)(3t^2+t+2)<0$$

Рассмотрим уравнение $3t^2+t+2=0$. Найдем его дискриминант: $$D=1^2-4\cdot3\cdot2=1-24=-23<0$$

Значит, уравнение $3t^2+t+2=0$ не имеет решений. Тогда так как коэффициент при $x^2$ больше 0, то при любом $x$ верно, что $3t^2+t+2>0$. Значит, $$(t-1)(3t^2+t+2)<0$$ $$t-1<0$$ $$t<1$$

Сделаем обратную замену: $$t<1$$ $$\left(\frac{5}{2}\right)^x<1$$ $$x<0$$

Ответ: $$(-\infty;0)$$