Тип 19 № 20154

Система из условия равносильна следующей:

$$\left\{ \begin{array}{l} y=-x+a\\ \left\{ \begin{array}{l} y=x^2-2x\\ y=-x^2+2x \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy$, являющихся решением совокупности. Тогда необходимо найти такие $a$, при которых прямая $y=-x+a$ имеет 2 общие точки со множеством $S$. Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y=-x+a$.

Нам подходят положения прямой $y=-x+a$ ниже положения (1) или выше положения (2). Положение (1): прямая $y=-x+a_1$ касается параболы $y=x^2-2x$. Тогда уравнение

$$x^2-2x=-x+a_1$$

$$x^2-x-a_1=0$$ имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D_1=0$$

$$1+4a_1=0$$

$$a_1=-\frac{1}{4}$$

Положение (2): прямая $y=-x+a_2$ касается параболы $y=-x^2+2x$. Тогда уравнение

$$-x^2+2x=-x+a_2$$

$$x^2-3x+a_2=0$$ имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D_2=0$$

$$9-4a_2=0$$

$$a_2=\frac{9}{4}$$

Следовательно, нам подходят значения параметра

$$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right).$$

Ответ:

$$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right)$$