Тип 16 № 20176

Сделаем замену: $9^x-2\cdot 3^x=t$. Тогда неравенство примет вид

$$t^2-62t-63\ge 0 \Leftrightarrow (t+1)(t-63)\ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t\le -1 \\ t\ge 63 \end{cases}$$

Пусть $3^x=z$, тогда $t=z^2-2z$, следовательно, имеем:

$$\begin{cases} z^2-2z\le -1 \\ z^2-2z\ge 63 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (z-1)^2\le 0 \\ (z-9)(z+7)\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z=1 \\ z\ge 9 \\ z\le -7 \end{cases}$$

Сделаем обратную замену:

$$\begin{cases} 3^x=1 \\ 3^x\ge 9 \\ 3^x\le -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x\ge 2 \\ x\in\varnothing \end{cases}$$

Следовательно, получаем

$$x\in\{0\}\cup[2;+\infty).$$

Ответ:

$$\{0\}\cup[2;+\infty)$$