Тип 16 № 20239

$$\log_{\frac13}(18-9x)<\log_{\frac13}(x^2-6x+5)+\log_{\frac13}(x+2)$$

$$\begin{cases} \log_{\frac13}(18-9x)<\log_{\frac13}\bigl((x^2-6x+5)(x+2)\bigr) \\ x^2-6x+5>0 \\ x+2>0 \\ 18-9x>0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \log_{\frac13}(18-9x)-\log_{\frac13}(x^3-4x^2-7x+10)<0 \\ (x-5)(x-1)>0 \\ -2<x<2 \end{cases}$$

Решим неравенство $(x-5)(x-1)>0$ методом интервалов:

$$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$

Теперь используем метод рационализации для первого неравенства из системы и получим:

$$\begin{cases} \left(\frac13-1\right)\bigl(18-9x-(x^3-4x^2-7x+10)\bigr)<0 \\ -2<x<2 \\ x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty) \end{cases}$$

$$\begin{cases} x^3-4x^2+2x-8<0 \\ -2<x<1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} (x-4)(x^2+2)<0 \\ -2<x<1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x-4<0 \\ -2<x<1 \end{cases}$$

$$-2<x<1$$

Ответ:

$$(-2;1)$$