Тип 16 № 20276

$$(9^x-3^{x+1})^2+8\cdot 3^{x+1}<8\cdot 9^x+20$$ $$(9^x-3^{x+1})^2-8(9^x-3^{x+1})-20<0$$

Обозначим $y=9^x-3^{x+1}$, тогда неравенство примет вид:

$$y^2-8y-20<0$$ $$(y-10)(y+2)<0$$

Вернемся к обозначениям $y=9^x-3^{x+1}$:

$$(9^x-3^{x+1}-10)(9^x-3^{x+1}+2)<0$$ $$\bigl((3^x)^2-3\cdot 3^x-10\bigr)\bigl((3^x)^2-3\cdot 3^x+2\bigr)<0$$

Обозначим $t=3^x$, тогда неравенство примет вид:

$$(t^2-3t-10)(t^2-3t+2)<0$$ $$(t-5)(t+2)\cdot (t-2)(t-1)<0$$

Вернемся к обозначениям $t=3^x$:

$$(3^x-5)(3^x+2)(3^x-2)(3^x-1)<0$$ $$\bigl(3^x-3^{\log_3 5}\bigr)\bigl(3^x+3^{\log_3 2}\bigr)\bigl(3^x-3^{\log_3 2}\bigr)\bigl(3^x-3^0\bigr)<0$$

Выражение $3^x+3^{\log_3 2}>0$ при любых значениях $x$, то есть можно поделить на него левую и правую части неравенства, знак от этого не изменится:

$$\bigl(3^x-3^{\log_3 5}\bigr)\bigl(3^x-3^{\log_3 2}\bigr)\bigl(3^x-3^0\bigr)<0$$

Используем метод рационализации для каждого из множителей:

$$(3-1)^3(x-\log_3 5)(x-\log_3 2)(x-0)<0$$

$$x(x-\log_3 2)(x-\log_3 5)<0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$$x\in(-\infty;0)\cup(\log_3 2;\log_3 5)$$

Ответ:

$$(-\infty;0)\cup(\log_3 2;\log_3 5)$$