а) По ОТТ sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2 x+\cos^2 x=1 sin 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 − sin 2 x \cos^2 x=1-\sin^2 x cos 2 x = 1 − sin 2 x sin ( − x ) = − sin x \sin(-x)=-\sin x sin ( − x ) = − sin x
2 cos 2 x − 3 sin ( − x ) − 3 = 0 2\cos^2 x-3\sin(-x)-3=0 2 cos 2 x − 3 sin ( − x ) − 3 = 0
2 − 2 sin 2 x + 3 sin x − 3 = 0 2-2\sin^2 x+3\sin x-3=0 2 − 2 sin 2 x + 3 sin x − 3 = 0
2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0 2\sin^2 x-3\sin x+1=0 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0
Пусть sin x = t \sin x=t sin x = t sin 2 x = t 2 \sin^2 x=t^2 sin 2 x = t 2
2 t 2 − 3 t + 1 = 0 2t^2-3t+1=0 2 t 2 − 3 t + 1 = 0
D = 3 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 1 D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1 D = 3 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 1
t 1 , 2 = 3 ± 1 4 t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4} t 1 , 2 = 4 3 ± 1
t 1 = 1 t_1=1 t 1 = 1
t 2 = 1 2 t_2=\frac{1}{2} t 2 = 2 1
Сделаем обратную замену:
[ sin x = 1 sin x = 1 2 ⟺ [ x = π 2 + 2 π k , k ∈ Z x = π 6 + 2 π k , k ∈ Z x = 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z \left[
\begin{array}{l}
\sin x=1\\
\sin x=\frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\iff
\left[
\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\\
x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\\
x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}
\end{array}
\right. [ sin x = 1 sin x = 2 1 ⟺ x = 2 π + 2 π k , k ∈ Z x = 6 π + 2 π k , k ∈ Z x = 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z
б) Проведём отбор корней на числовой окружности: Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [ 5 π 2 ; 4 π ] \left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right] [ 2 5 π ; 4 π ]
Следовательно, на отрезке [ 5 π 2 ; 4 π ] \left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right] [ 2 5 π ; 4 π ] 5 π 2 ; 17 π 6 \frac{5\pi}{2};\frac{17\pi}{6} 2 5 π ; 6 17 π
Ответ:
а) π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z \frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} 6 π + 2 π k ; 6 5 π + 2 π k ; 2 π + 2 π k , k ∈ Z
б) 5 π 2 ; 17 π 6 \frac{5\pi}{2};\ \frac{17\pi}{6} 2 5 π ; 6 17 π
