Тип 16 № 20317

а) Да, например, $15\cdot 10=150$.

б) Все числа в данном диапазоне начинаются с четверки, а если ее вычеркнуть — будут не меньше $40$ (если же ее оставить — тоже будут не меньше $40$). Значит, произведение двух двузначных чисел будет не меньше

$$40\cdot 40=1600>500>A.$$

в) Заметим, что $810=81\cdot 10$. Докажем, что для больших чисел описанная ситуация невозможна. Очевидно, число $811$ не получается перемножением чисел $81$ и $11$ в любых комбинациях.

Если есть подходящее число в диапазоне от $812$ до $899$, то оно начинается на $8$. Если оба двузначных числа сохраняют в себе эту восьмерку, то их произведение больше чем $80^2>900$, что невозможно. Если ни одно ее не сохраняет, то $B=C$ и $A=B^2$, но

$$28^2=784<811<29^2=841<900<30^2,$$ значит, единственным подходящим числом могло бы быть $841$, но $41^2\ne 841$.

Итак, одно из чисел состоит из двух последних цифр числа $A$ (и потому не меньше $12$), а второе сохраняет первую цифру (и не меньше $80$), значит, их произведение не меньше

$$80\cdot 12=960>900>A.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $810$.