Тип 16 № 20332

Пусть $t=2^x$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8}\geq \frac{16t+96}{(t-8)(t+8)}$$

$$\frac{(t+8)^2+(t-8)^2-(16t+96)}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{(t^2+16t+64)+(t^2-16t+64)-16t-96}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{2t^2-16t+32}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{2(t-4)^2}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

Заметим, что $t=2^x>0$, поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительное выражение $t+8$ и поделим на $2$, получим

$$\frac{(t-4)^2}{t-8}\geq 0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Тогда решением неравенства будет совокупность:

$$\left[ \begin{array}{l} t=4\\ t>8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^x=2^2\\ 2^x>2^3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2\\ x>3 \end{array} \right.$$

Получим $x\in\{2\}\cup(3;+\infty)$.

Ответ:

$$\{2\}\cup(3;+\infty)$$