а) Используя нечетность синуса и формулу приведения, получаем:
sin ( x − π ) = − sin ( π − x ) = − sin x . \sin(x-\pi)=-\sin(\pi-x)=-\sin x. sin ( x − π ) = − sin ( π − x ) = − sin x .
Применим формулу 1 − cos 2 x = 2 sin 2 x 1-\cos 2x=2\sin^2 x 1 − cos 2 x = 2 sin 2 x
2 sin 2 x − 2 sin x + 2 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x ( 2 sin x − 2 ) + ( 2 sin x − 2 ) = 0 ⇔ 2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sin x-\sqrt2=0
\Leftrightarrow
\sin x(2\sin x-\sqrt2)+(2\sin x-\sqrt2)=0
\Leftrightarrow 2 sin 2 x − 2 sin x + 2 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x ( 2 sin x − 2 ) + ( 2 sin x − 2 ) = 0 ⇔
⇔ ( 2 sin x − 2 ) ( sin x + 1 ) = 0 ⇔ { sin x = 2 2 , sin x = − 1 ⇔ { x = − π 2 + 2 π k , x = π 4 + 2 π k , x = 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z . \Leftrightarrow (2\sin x-\sqrt2)(\sin x+1)=0
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2},\\
\sin x=-1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\\
x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\\
x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,
\end{cases}
\quad k\in\mathbb Z. ⇔ ( 2 sin x − 2 ) ( sin x + 1 ) = 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ sin x = 2 2 , sin x = − 1 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x = − 2 π + 2 π k , x = 4 π + 2 π k , x = 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z .
б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [ − π ; π 2 ] [-\pi;\frac{\pi}{2}] [ − π ; 2 π ]
Следовательно, на отрезке [ − π ; π 2 ] [-\pi;\frac{\pi}{2}] [ − π ; 2 π ] − π 2 ; π 4 -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4} − 2 π ; 4 π
Ответ: а) { − π 2 + 2 π k ; π 4 + 2 π k ; 3 π 4 + 2 π k : k ∈ Z } \left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k:\ k\in\mathbb Z\right\} { − 2 π + 2 π k ; 4 π + 2 π k ; 4 3 π + 2 π k : k ∈ Z } − π 2 , π 4 -\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{4} − 2 π , 4 π
