Тип 16 № 20354

Пусть $t(x)=5x+\left|x-a^2\right|-4\left|x+1\right|-a^2$, тогда

$$t^2+(a+2)t+1=0.$$ Раскроем модули:

$$t(x)= \begin{cases} 8x+4, & \text{при } x<-1,\\ -4, & \text{при } -1\le x\le a^2,\\ 2x-4-2a^2, & \text{при } x>a^2. \end{cases}$$

При любом значении $x$ из отрезка $[-1;a^2]$ значение функции $y=t(x)$ равно

$$y=t(-1)=t(a^2)=-4.$$ На $(-\infty;-1)\cup(a^2;+\infty)$ функция $y=t(x)$ — неограниченно возрастает (см. рис.) и принимает любое значение, кроме $y=-4$, причем каждое ровно один раз.

Поскольку исходное уравнение должно иметь ровно два различных корня, квадратное уравнение

$$t^2+(a+2)t+1=0$$ должно иметь два решения, каждое из которых отлично от $-4$. Тогда:

$$\left\{ \begin{array}{l} (a+2)^2-4>0,\\ 16-4(a+2)+1\ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a<-4,\\ a>0,\\ a\ne \dfrac94 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a<-4,\\ 0<a<\dfrac94,\\ a>\dfrac94. \end{array} \right.$$

Ответ:

$$(-\infty;-4)\cup\left(0;\dfrac94\right)\cup\left(\dfrac94;+\infty\right).$$