Тип 16 № 20389

Данное уравнение совсем не похоже на линейное. Часто по исходному виду уравнения невозможно сказать какое оно: линейное, квадратное, иррациональное и т.д. Чтобы в этом разобраться, нужно его сначала преобразовать. Но начнем мы с ОДЗ, так как в уравнении есть знаменатели:

$$5a + x \ne 0 \text{ и } x - 5a \ne 0;$$

Таким образом ОДЗ: $x \ne \pm 5a$.

Приведем исходное уравнение к общему знаменателю $x^2 - 25a^2$ и умножим на него все уравнение:

$$\frac{x}{5a + x} - \frac{5a + x}{x - 5a} - \frac{100a^2}{25a^2 - x^2} = 0;$$

$$\frac{x}{5a + x} + \frac{5a + x}{5a - x} - \frac{100a^2}{(5a - x)(5a + x)} = 0;$$

$$\frac{x(5a - x) + (5a + x)^2 - 100a^2}{((5a - x)(5a + x))} = 0;$$

$$x^2 - 5ax - x^2 - 10ax - 25a^2 + 100a^2 = 0$$

$$-15ax = -75a^2$$

$$ax = 5a^2.$$

После преобразований все дроби и степени исчезли: получили линейное уравнение.

Первый случай: $a = 0$. Получаем уравнение $0 \ast x = 0$. Решениями этого уравнения будет любое число, кроме $x = 0$ (ОДЗ $x \ne \pm 5a$).

Второй случай: $a \ne 0$. Выражаем $x = \frac{5a^2}{a} = 5a$. Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При $a = 0$ решениями уравнения будут все действительные числа, кроме $x = 0$. Если $a \ne 0$, то решений нет.