Тип 14 № 20686

\textbf{Решение:}

Преобразуем аргумент логарифма, используя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin 2x + 81 = \sin x + \sin 2x + 81.$$

Так как $\log_3 A = 4 \Leftrightarrow A = 3^4 = 81$, получаем:

$$\sin x + \sin 2x + 81 = 81 \quad\Longrightarrow\quad \sin x + \sin 2x = 0.$$

Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

$$\sin x + 2\sin x\cos x = \sin x(1 + 2\cos x) = 0.$$

Отсюда:

$$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2}.$$

Решения:

$$x = \pi k, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$:

Для $x = \pi k$:

$$-\frac{7\pi}{2} \le \pi k \le -2\pi \quad\Longrightarrow\quad -\frac{7}{2} \le k \le -2.$$

Целые $k$: $-3$ и $-2$. Получаем:

$$x = -3\pi, \quad x = -2\pi.$$

Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

$$-\frac{7}{2} \le \frac{2}{3} + 2k \le -2 \quad\Longrightarrow\quad k = -2.$$

Тогда:

$$x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3}.$$

Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

$$-\frac{7}{2} \le -\frac{2}{3} + 2k \le -2 \quad\Longrightarrow\quad k = -1.$$

Тогда:

$$x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}.$$

Корни, принадлежащие отрезку:

$$-3\pi; \quad -\frac{10\pi}{3}; \quad -\frac{8\pi}{3}; \quad -2\pi.$$

Ответ: а) $\pi k; \ \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi; \ -\frac{10\pi}{3}; \ -\frac{8\pi}{3}; \ -2\pi$.