Тип 16 № 20689

Решение:

Сделаем замену $t = 2^x > 0$, тогда $4^x = t^2$, $2^{x+1} = 2t$, $4^{x+1} = 4t^2$, $2^{x+5} = 32t$.
Кроме того, $t \neq 5$, $t \neq 8$. Неравенство примет вид: $$\frac{t^2 + 2t - 36}{t - 5} + \frac{4t^2 - 32t + 4}{t - 8} \leq 5t + 7.$$

Выделим целые части дробей: $$\frac{t^2 + 2t - 36}{t - 5} = t + 7 - \frac{1}{t - 5},$$ $$\frac{4t^2 - 32t + 4}{t - 8} = 4t + \frac{4}{t - 8}.$$

Подставим обратно: $$t + 7 - \frac{1}{t - 5} + 4t + \frac{4}{t - 8} \leq 5t + 7.$$ Сократив $5t + 7$ в обеих частях, получим: $$- \frac{1}{t - 5} + \frac{4}{t - 8} \leq 0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{4(t - 5) - (t - 8)}{(t - 8)(t - 5)} \leq 0$$ $$\frac{4t - 20 - t + 8}{(t - 8)(t - 5)} \leq 0$$ $$\frac{3t - 12}{(t - 8)(t - 5)} \leq 0$$ $$\frac{3(t - 4)}{(t - 8)(t - 5)} \leq 0.$$

Так как $3 > 0$, делим на $3$ без изменения знака: $$\frac{t - 4}{(t - 8)(t - 5)} \leq 0.$$

Решим методом интервалов с учётом $t > 0$, $t \neq 5$, $t \neq 8$.

Получаем: $$t \in (0; 4] \cup (5; 8).$$

Возвращаемся к переменной $x$, учитывая, что $t = 2^x$: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 4,\\ &5 < t < 8. \end{aligned}\right.$$

Для первого случая: $0 < 2^x \leq 4 \;\Rightarrow\; x \leq 2$ (так как $2^x > 0$ всегда).
Для второго: $5 < 2^x < 8 \;\Rightarrow\; \log_2 5 < x < \log_2 8 = 3$.

Таким образом, $$x \in (-\infty; 2] \cup (\log_2 5; 3).$$

Ответ: $(-\infty; 2] \cup (\log_2 5; 3)$.