Тип 19 № 20699

Решение:

а)

Точки $M$ и $D$ принадлежат окружностям, построенным на отрезках $BC$ и $AB$ как на диаметрах. Следовательно, углы $\angle BMC$ и $\angle BDA$ являются прямыми (опираются на диаметры). Значит, обе прямые $AD$ и $MC$ перпендикулярны одной и той же прямой $MD$. Отсюда вытекает их параллельность.

б)

Обозначим через $O$ центр окружности с диаметром $BC$. Поскольку $AM$ — касательная к этой окружности в точке $M$, радиус $OM$ перпендикулярен $AM$. Кроме того, $BK$ перпендикулярна $AM$ (так как $AK$ — хорда окружности с диаметром $AB$, а угол $AKB$ прямой). Значит, $OM \parallel BK$.

Положим $BK = x$. Треугольники $AMO$ и $AKB$ подобны: коэффициент подобия равен отношению $AM : AK = (5 + 25) : 5 = 6 : 1$. Поэтому $OB = OM = 6x$.

Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $OM$. Четырёхугольник $BKHM$ является прямоугольником, откуда $$BH = KM = 25,\qquad OH = OM - MH = 6x - x = 5x.$$ Применим теорему Пифагора к треугольнику $BOH$: $$OB^2 = BH^2 + OH^2 \quad\Rightarrow\quad (6x)^2 = 25^2 + (5x)^2.$$ Решая, получаем: $$36x^2 = 625 + 25x^2 \quad\Rightarrow\quad 11x^2 = 625 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{25}{\sqrt{11}} = \frac{25\sqrt{11}}{11}.$$

Теперь воспользуемся доказанной в пункте а параллельностью $AD \parallel MC$. Это даёт равенство площадей: $$S_{DBC} = S_{MDC} - S_{MBC} = S_{MAC} - S_{MBC} = S_{ABM}.$$ Действительно, треугольники $MDC$ и $MAC$ имеют общее основание $MC$, а их вершины $D$ и $A$ лежат на прямых, параллельных $MC$, поэтому их площади равны.

Остаётся вычислить площадь треугольника $ABM$: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BK,$$ поскольку $BK \perp AM$. Здесь $AM = AK + MK = 5 + 25 = 30$, а $BK = x = \frac{25\sqrt{11}}{11}$. Подставляем: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{25\sqrt{11}}{11} = \frac{375\sqrt{11}}{11}.$$

Следовательно, $$S_{DBC} = \frac{375\sqrt{11}}{11}.$$

Ответ: $\dfrac{375\sqrt{11}}{11}$.