Тип 14 № 20718

Решение:

Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $$\log_{13}\left(\cos 2x - 9\sqrt2 \cos x - 8\right) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos 2x - 9\sqrt2 \cos x - 8 = 13^0 = 1.$$

Отсюда: $$\cos 2x - 9\sqrt2 \cos x - 9 = 0.$$

Заменим $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$2\cos^2 x - 1 - 9\sqrt2 \cos x - 9 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\cos^2 x - 9\sqrt2 \cos x - 10 = 0.$$

Пусть $t = \cos x$. Тогда: $$2t^2 - 9\sqrt2\, t - 10 = 0.$$

Решим квадратное уравнение: $$D = (9\sqrt2)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-10) = 162 + 80 = 242 = (11\sqrt2)^2.$$

Корни: $$t = \frac{9\sqrt2 \pm 11\sqrt2}{4} \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{20\sqrt2}{4} = 5\sqrt2, \qquad t_2 = \frac{-2\sqrt2}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}.$$

Так как $|\cos x| \le 1$, значение $t_1 = 5\sqrt2$ не подходит. Остаётся: $$\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно: $$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Рассмотрим две серии:

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $$-2\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\frac{\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$-2 \le \frac34 + 2k \le -\frac12.$$ Вычтем $\frac34$: $$-\frac{11}{4} \le 2k \le -\frac54.$$ Разделим на 2: $$-\frac{11}{8} \le k \le -\frac58.$$ Целое $k$, удовлетворяющее неравенству: $k = -1$. Тогда $$x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}.$$

$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $$-2\pi \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\frac{\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$-2 \le -\frac34 + 2k \le -\frac12.$$ Прибавим $\frac34$: $$-\frac54 \le 2k \le \frac14.$$ Разделим на 2: $$-\frac58 \le k \le \frac18.$$ Целое $k = 0$. Тогда $$x = -\frac{3\pi}{4}.$$ Таким образом, на заданном отрезке лежат корни: $$-\frac{5\pi}{4}, \quad -\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: a) $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}$.