Тип 4 № 20719

Решение:

а)

Так как $KLMN$ — квадрат, его противоположные стороны попарно параллельны: $KN \parallel LM$ и $KL \parallel MN$.
Прямая $LM$ лежит в плоскости $ADB$, а $KN$ — в плоскости $ABC$. Поскольку $LM \parallel KN$, прямая $LM$ параллельна плоскости $ABC$. Тогда в плоскости $ADB$ прямая $LM$ не может пересекать $AB$ (иначе она имела бы общую точку с плоскостью $ABC$), значит, $LM \parallel AB$. Следовательно, $KN \parallel LM \parallel AB$.
Аналогично, из параллельности $KL \parallel MN$ и того, что $KL$ лежит в плоскости $ACD$, а $MN$ — в плоскости $BCD$, получаем $KL \parallel MN \parallel CD$.

Теперь применим теорему Фалеса. В треугольнике $ACB$ отрезок $KN$ параллелен $AB$, поэтому $$\frac{BN}{NC} = \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3}.$$ В треугольнике $CBD$ отрезок $MN$ параллелен $CD$, следовательно, $$\frac{BM}{MD} = \frac{BN}{NC} = \frac{2}{3}.$$ Таким образом, $BM:MD = 2:3$, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что пирамида $CKLMN$ состоит из двух пирамид с общей вершиной $C$ и основаниями — треугольниками $KLM$ и $KNM$. Поскольку $KLMN$ — квадрат, площади этих треугольников равны, и их плоскости совпадают, поэтому высоты из точки $C$ на эти основания одинаковы. Следовательно, $$V_{CKLMN} = 2V_{CKMN}.$$

Найдём объём пирамиды $CKMN$. Её основание — треугольник $CMN$, лежащий в плоскости $BCD$. Высота, опущенная из вершины $K$ на плоскость $BCD$, равна $\frac{7}{10}$ от высоты $AH$ тетраэдра $ABCD$ (так как $KC = \frac{7}{10}AC$, а расстояние до плоскости $BCD$ меняется пропорционально вдоль ребра $AC$). Обозначим эту высоту через $KH_1$: $$KH_1 = \frac{7}{10} AH.$$

Теперь выразим площадь треугольника $CMN$ через площадь треугольника $BCD$.
В треугольнике $BCD$ точка $N$ лежит на $BC$ с $BN:NC = 3:7$, значит $NC = \frac{7}{10}BC$. Точка $M$ лежит на $BD$ с $BM:MD = 3:7$, значит $BM = \frac{3}{10}BD$.
Треугольник $CMN$ имеет общую вершину $C$ с треугольником $BCD$, а его стороны $CN$ и $CM$ являются соответствующими частями сторон $CB$ и $CD$? На самом деле удобнее выразить через площадь $BMC$:
Так как $N$ лежит на $BC$, то $$S_{CMN} = \frac{NC}{BC} \cdot S_{BMC} = \frac{7}{10} S_{BMC}.$$ А в треугольнике $BCD$ точка $M$ делит $BD$ в отношении $BM:MD = 3:7$, значит $BM = \frac{3}{10}BD$, поэтому $$S_{BMC} = \frac{BM}{BD} \cdot S_{BCD} = \frac{3}{10} S_{BCD}.$$ Следовательно, $$S_{CMN} = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} S_{BCD} = \frac{21}{100} S_{BCD}.$$

Теперь вычислим объём пирамиды $CKMN$: $$V_{CKMN} = \frac{1}{3} \cdot KH_1 \cdot S_{CMN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{10} AH \cdot \frac{21}{100} S_{BCD}.$$ Учитывая, что объём тетраэдра $ABCD$ равен $$V_{ABCD} = \frac{1}{3} AH \cdot S_{BCD} = 100,$$ получаем: $$V_{CKMN} = \frac{7}{10} \cdot \frac{21}{100} \cdot V_{ABCD} = \frac{7}{10} \cdot \frac{21}{100} \cdot 100 = \frac{147}{10}.$$

Тогда объём всей пирамиды $CKLMN$: $$V_{CKLMN} = 2V_{CKMN} = 2 \cdot \frac{147}{10} = \frac{147}{5} = 29{,}4.$$