Тип 14 № 20797

Решение.

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin(\pi-x)=0$$

По формуле синуса суммы и по формулам приведения имеем:

$$2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$$

$$2\left(\sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$$

$$\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0 \quad \mid : \sqrt{2}$$

$$\cos x-\sin x=0 \quad \mid : \cos x\ne 0$$

$$1-\tg x=0$$

$$\tg x=1$$

Таким образом,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right],$$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$$ лежат точки

$$\frac{13\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4}.$$

Ответ:

$$a) x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

$$б) \frac{13\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4}.$$