Тип 4 № 20799

а) В плоскости $BB_1D_1D$ через точку $K$ проведем прямую параллельно $BD_1$. Пусть эта прямая пересекает диагональ $B_1D$ в точке $L$. В плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$ проведем прямую $C_1L$, пусть она пересекает сторону $A_1B_1$ в точке $P$. Треугольник $KPC_1$ — сечение, проходящее через точки $K$ и $C_1$ параллельно прямой $BD_1$. Действительно, прямая $BD_1$ параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой $KL$.

В плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$ через точку $A_1$ проведем прямую параллельно $C_1P$. Пусть она пересекает $D_1B_1$ в точке $M$. По теореме Фалеса имеем: $$B_1L:B_1D_1=B_1K:B_1B=1:4$$ и $$D_1M:D_1B_1=1:4,$$ поэтому $$ML:LB_1=2:1.$$ Тогда $$A_1P:PB_1=ML:LB_1=2:1,$$ что и требовалось доказать.

б) Пусть теперь точка $N$ — основание высоты $B_1N$ прямоугольного треугольника $KB_1C_1$. $B_1N$ — является проекцией наклонной $PN$ на плоскость $BB_1C_1C$. Тогда угол $PNB_1$ — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

$$PB_1=\frac13 A_1B_1=\frac43,$$ $$B_1C_1K=\frac12\cdot 4\cdot 1=2,$$ $$C_1K=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17},$$ $$B_1N=\frac{2S}{C_1K}=\frac{4}{\sqrt{17}}.$$ Тогда $$\tg\angle PNB_1= \frac{PB_1}{B_1N} = \frac{\frac43}{\frac{4}{\sqrt{17}}} = \frac{\sqrt{17}}{3}.$$

Тем самым, $$\angle PNB_1=\arctg\frac{\sqrt{17}}{3}.$$

$$\text{Ответ: б) } \arctg\frac{\sqrt{17}}{3}.$$