Тип 16 № 20802

Решение. Найдем ОДЗ: $$4+3x-x^2>0 \Longleftrightarrow x^2-3x-4<0 \Longleftrightarrow (x-4)(x+1)<0 \Longleftrightarrow -1<x<4.$$

$$\log_2^2(4+3x-x^2)+7\log_{0{,}5}(4+3x-x^2)+10>0 \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \log_2^2(4+3x-x^2)-7\log_2(4+3x-x^2)+10>0.$$

Пусть $$\log_2(4+3x-x^2)=t,$$ тогда $$t^2-7t+10>0 \Longleftrightarrow \begin{cases} t>5,\\ t<2. \end{cases}$$

Переходим к переменной $x$: $$\begin{cases} \log_2(4+3x-x^2)>5,\\ \log_2(4+3x-x^2)<2 \end{cases} \Longleftrightarrow_{\text{ОДЗ}} \begin{cases} 4+3x-x^2>32,\\ 4+3x-x^2<4 \end{cases} \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \begin{cases} x^2-3x+28<0,\\ x^2-3x>0 \end{cases} \Longleftrightarrow x^2-3x>0 \Longleftrightarrow \begin{cases} x>3,\\ x<0. \end{cases}$$

Неравенство $$x^2-3x+28<0$$ решений не имеет, т. к. $$x^2-3x+28>0.$$

Учитывая ОДЗ, получаем: $$\begin{cases} -1<x<4,\\ \begin{cases} x>3,\\ x<0 \end{cases} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -1<x<0,\\ 3<x<4. \end{cases}$$ или $$x\in(-1;0)\cup(3;4).$$

$$\text{Ответ: } (-1;0)\cup(3;4).$$