Тип 19 № 20807

Решение.

Преобразуем первое уравнение: $$\frac{(y^2-xy-2y-2y+2x+4)\sqrt{x+4}}{\sqrt{5-y}}=0 \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \frac{(y(y-x-2)-2(y-x-2))\sqrt{x+4}}{\sqrt{5-y}}=0 \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \frac{(y-2)(y-x-2)\sqrt{x+4}}{\sqrt{5-y}}=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} y=2,\\ y=x+2,\\ \sqrt{x+4}=0,\\ 5-y>0,\\ 4+x\ge 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=2,\\ y=x+2,\\ x=-4,\\ y<5,\\ x\ge -4. \end{cases}$$

Графиком первого уравнения является объединение открытого луча $AB$, закрытого луча $CD$ и отрезка $BE$ с открытым концом $E$.

Второе уравнение перепишем в виде: $$y=-x+a.$$ Оно задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-1$. Значение параметра $a$ равно ординате точки, в которой каждая такая прямая пересекает ось $Oy$. Количество точек пересечений графиков соответствует количеству решений исходной

системы. Значение $$a_1=-6$$ находим из условия, что прямая $$y=-x+a$$ проходит через точку $B(-4;-2)$, также поступим с остальными параметрами: $$C(-4;2):\ a_2=-2,$$ $$A(-4;5):\ a_3=1,$$ $$D(0;2):\ a_4=2,$$ $$E(3;5):\ a_5=8.$$

Таким образом, количество точек пересечений графиков в зависимости от значения $a$ следующее: $$a\le -6 \text{ — одна точка,}$$ $$-6<a\le -2 \text{ — две точки,}$$ $$-2<a<1 \text{ — три точки,}$$ $$1\le a<2 \text{ — две точки,}$$ $$a=2 \text{ — одна точка,}$$ $$2<a<8 \text{ — две точки,}$$ $$a\ge 8 \text{ — одна точка.}$$

Откуда получаем ответ к задаче: $$\text{Ответ: } (-\infty;-6]\cup\{2\}\cup[8;+\infty).$$