Тип 19 № 20838

Решение.

При $x\leq0$ исходное уравнение принимает вид: $$\begin{aligned} a^2-9x^2-18x-9=0 &\Longleftrightarrow a^2-(3x+3)^2=0 \\ &\Longleftrightarrow (a-3x-3)(a+3x+3)=0. \end{aligned}$$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости $Oxa$ пару лучей: луч $l_1$ с началом в точке $(0;3)$, совпадающий с прямой

$$a=3x+3$$ при $x\leq0$, и луч $l_2$ с началом в точке $(0;-3)$, совпадающий с прямой

$$a=-3x-3$$ при $x\leq0$.

Лучи $l_1$ и $l_3$ пересекаются в точке $(-1;0)$.

При $x\geq0$ исходное уравнение принимает вид: $$\begin{aligned} a^2-9x^2+18x-9=0 &\Longleftrightarrow a^2-(3x-3)^2=0 \\ &\Longleftrightarrow (a-3x+3)(a+3x-3)=0. \end{aligned}$$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости $Oxa$ пару лучей: луч $l_3$ с началом в точке $(0;3)$, совпадающий с прямой

$$a=3-3x$$ при $x\geq0$, и луч $l_4$ с началом в точке $(0;-3)$, совпадающий с прямой

$$a=3x-3$$ при $x\geq0$.

Лучи $l_3$ и $l_4$ пересекаются в точке $(1;0)$.

Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой $a=c$ с объединением лучей $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$.

Каждый из лучей $l_1$ и $l_3$ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c\leq3$ и не пересекается при $c>3$.

Каждый из лучей $l_2$ и $l_4$ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c\geq-3$ и не пересекается при $c<-3$.

Следовательно, при

$$a<-3 \quad\text{и}\quad a>3$$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня.

При $c=-3$ и при $c=3$ прямая $a=c$ проходит через общую точку лучей $l_2$ и $l_4$, $l_1$ и $l_3$ соответственно.

Значит, при

$$a=-3 \quad\text{и}\quad a=3$$ исходное уравнение имеет ровно три корня.

При $c=0$ прямая $a=c$ проходит через точки пересечения лучей $l_3$ и $l_4$, $l_1$ и $l_2$.

Значит, при $a=0$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

Следовательно, при

$$-3<a<0 \quad\text{и}\quad 0<a<3$$ исходное уравнение имеет ровно четыре корня.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$$a<-3,\qquad a=0,\qquad a>3.$$

$$\text{Ответ: } a<-3,\quad a=0,\quad a>3.$$