Тип 4 № 20842

Решение.

а) Рассмотрим треугольник $SAB$. Имеем

$$SB^2=9^2=81,$$ а также

$$SA^2+AB^2 =(2\sqrt{14})^2+5^2 =56+25 =81.$$

Следовательно,

$$SB^2=SA^2+AB^2.$$ По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $SAB$ прямоугольный, поэтому

$$SA\perp AB.$$

Поскольку $ABCD$ является прямоугольником, то

$$AD=BC=12.$$ Рассмотрим треугольник $SAD$:

$$SD^2=(10\sqrt2)^2=200,$$

$$SA^2+AD^2 =(2\sqrt{14})^2+12^2 =56+144 =200.$$

Таким образом,

$$SD^2=SA^2+AD^2,$$ поэтому треугольник $SAD$ прямоугольный и

$$SA\perp AD.$$

Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются и лежат в плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $SA$ перпендикулярна обеим этим прямым, то

$$SA\perp(ABCD).$$

Следовательно, $SA$ является высотой пирамиды $SABCD$.

б) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Выберем оси так, чтобы

$$\overrightarrow{AD}\parallel Ox,\qquad \overrightarrow{AB}\parallel Oy,\qquad \overrightarrow{AS}\parallel Oz.$$

Тогда точки имеют координаты

$$A(0;0;0),\qquad S(0;0;2\sqrt{14}),$$

$$B(0;5;0),\qquad C(12;5;0),\qquad D(12;0;0).$$

Направляющие векторы прямых $SC$ и $BD$:

$$\overrightarrow{SC} =C-S =(12;5;-2\sqrt{14}),$$

$$\overrightarrow{BD} =D-B =(12;-5;0).$$

Пусть $\alpha$ — угол между прямыми $SC$ и $BD$. Тогда

$$\cos\alpha = \frac{ \left| \overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BD} \right| }{ \left|\overrightarrow{SC}\right| \left|\overrightarrow{BD}\right| }.$$

Вычислим скалярное произведение:

$$\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BD} = 12\cdot12+5\cdot(-5)+(-2\sqrt{14})\cdot0 =144-25 =119.$$

Длины векторов:

$$\left|\overrightarrow{SC}\right| = \sqrt{12^2+5^2+(2\sqrt{14})^2} = \sqrt{144+25+56} =15,$$

$$\left|\overrightarrow{BD}\right| = \sqrt{12^2+(-5)^2} = \sqrt{144+25} =13.$$

Следовательно,

$$\cos\alpha = \frac{119}{15\cdot13} = \frac{119}{195}.$$

Отсюда

$$\boxed{\alpha=\arccos\frac{119}{195}}.$$

Ответ:

$$\arccos\frac{119}{195}.$$