Тип 19 № 20852

Решение. Разложим обе части уравнения на множители.

Для левой части получаем: $$\begin{aligned} &\left(1-(x+a+1)^2\right)^3 -\left(1-(x+a+1)^2\right)^2 \\ &\quad= \left(1-(x+a+1)^2\right)^2 \left( 1-(x+a+1)^2-1 \right) \\ &\quad= -(x+a+1)^2 \left(1-(x+a+1)^2\right)^2. \end{aligned}$$

Правая часть преобразуется следующим образом:

$$2^{3|x-a|}-2^{2|x-a|} = 2^{2|x-a|} \left(2^{|x-a|}-1\right).$$

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

$$-(x+a+1)^2 \left(1-(x+a+1)^2\right)^2 = 2^{2|x-a|} \left(2^{|x-a|}-1\right).$$

Левая часть всегда неположительна:

$$-(x+a+1)^2 \left(1-(x+a+1)^2\right)^2\leq 0.$$

Так как

$$|x-a|\geq0,$$ то

$$2^{|x-a|}\geq1.$$ Поэтому правая часть всегда неотрицательна:

$$2^{2|x-a|} \left(2^{|x-a|}-1\right)\geq0.$$

Равенство неположительной и неотрицательной величин возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны нулю.

Правая часть равна нулю тогда и только тогда, когда

$$2^{|x-a|}-1=0.$$

Отсюда

$$2^{|x-a|}=1 \Longleftrightarrow |x-a|=0 \Longleftrightarrow x=a.$$

Подставим $x=a$ в левую часть. Получаем условие

$$-(2a+1)^2\left(1-(2a+1)^2\right)^2=0.$$

Произведение равно нулю, если

$$2a+1=0$$ или

$$1-(2a+1)^2=0.$$

Решим первое уравнение:

$$2a+1=0 \Longleftrightarrow a=-\frac12.$$

Решим второе уравнение:

$$1-(2a+1)^2=0 \Longleftrightarrow (2a+1)^2=1.$$

Следовательно,

$$2a+1=1 \qquad\text{или}\qquad 2a+1=-1.$$

Отсюда

$$a=0 \qquad\text{или}\qquad a=-1.$$

При каждом из найденных значений параметра уравнение имеет корень $x=a$.

$$\text{Ответ: } a\in\left\{-1;\ -\frac12;\ 0\right\}.$$