Тип 14 № 20861

Решение.

а) Перейдём к одному основанию: $$\begin{aligned} 36^{\sin 2x}=6^{2\sin x} &\Longleftrightarrow 36^{\sin 2x}=36^{\sin x}\\ &\Longleftrightarrow \sin 2x=\sin x\\ &\Longleftrightarrow 2\sin x\cos x=\sin x\\ &\Longleftrightarrow \sin x(2\cos x-1)=0\\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} \sin x&=0,\\ \cos x&=\frac12 \end{aligned} \right.\\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} x&=\pi k,\\ x&=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\\ x&=-\frac{\pi}{3}+2\pi k, \end{aligned} \right. \qquad k\in\mathbb Z. \end{aligned}$$

б) Отберём корни при помощи единичной окружности. На отрезке

$$\left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}\right]$$ подходит только число

$$-3\pi.$$

Ответ:

$$\text{а) }\left\{ \pi k;\ \frac{\pi}{3}+2\pi k;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k \mathrel{:} k\in\mathbb Z \right\}; \qquad \text{б) }-3\pi.$$