Тип 4 № 20862

Решение.а) Пусть длина высоты $CO$ тетраэдра $ABCD$ равна $h$. Объём этого тетраэдра равен

$$V_{ABCD} =\frac13h\cdot S_{ABD} =\frac13h\cdot\frac{AB^2\sqrt3}{4} =\frac{100h\sqrt3}{12} =\frac{25h\sqrt3}{3}.$$

Треугольник $AMK$ равнобедренный с углом $60^\circ$, то есть равносторонний. Следовательно, объём пирамиды $CMKA$ равен

$$V_{CMKA} =\frac13h\cdot S_{AMK} =\frac13h\cdot\frac{AM^2\sqrt3}{4} =\frac{16h\sqrt3}{12} =\frac{4h\sqrt3}{3}.$$

Таким образом, объём многогранника $CMKDB$ и искомое отношение соответственно равны

$$V_{CMKDB} =V_{ABCD}-V_{CMKA} =\frac{25h\sqrt3}{3}-\frac{4h\sqrt3}{3} =\frac{21h\sqrt3}{3},$$

$$\frac{V_{CMKDB}}{V_{CMKA}} = \frac{21h\sqrt3}{3}:\frac{4h\sqrt3}{3} =\frac{21h}{4h} =\frac{21}{4}.$$

Следовательно, объёмы многогранников относятся как $21:4$.

б) Пусть точка $A_1$ --- середина отрезка $MK$, а точка $A_2$ --- середина отрезка $BD$.

Треугольники $AMK$ и $ABD$ равнобедренные, прямые $MK$ и $BD$ параллельны по теореме, обратной теореме Фалеса, поэтому точки $A$, $A_1$, $A_2$ лежат на одной прямой, причём эта прямая перпендикулярна и прямой $MK$, и прямой $BD$.

Проведём через точку $C$ прямую $l$, параллельную прямой $BD$. По этой прямой пересекаются плоскости $CMK$ и $CBD$. Отрезки $CA_1$ и $CA_2$ являются медианами, проведёнными к основаниям равнобедренных треугольников, а потому и их высотами. Следовательно, прямая $l$ соответственно перпендикулярна прямым $CA_1$ и $CA_2$, а потому косинус угла $A_1CA_2$ является искомым.

Прямоугольные треугольники $MAA_1$ и $BAA_2$ подобны по двум углам, поэтому

$$\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{AM}{AB}.$$ Отсюда

$$AA_1 =\frac{AM}{AB}\cdot AA_2 =\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AB\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{2}AM =2\sqrt3.$$ Следовательно,

$$A_1A_2 =AA_2-AA_1 =\frac{\sqrt3}{2}AB-2\sqrt3 =5\sqrt3-2\sqrt3 =3\sqrt3.$$

Тетраэдр $ABCD$ правильный, поэтому его грани являются равными треугольниками, то есть

$$CA_2=AA_2=5\sqrt3.$$ По теореме косинусов для треугольника $CAA_2$ получаем:

$$\cos\angle AA_2C = \frac{AA_2^2+CA_2^2-AC^2}{2AA_2\cdot CA_2} = \frac{75+75-100}{2\cdot5\sqrt3\cdot5\sqrt3} = \frac{50}{150} = \frac13.$$

Аналогично для треугольника $CA_1A_2$ находим: $$\begin{aligned} CA_1 &= \sqrt{ A_1A_2^2+CA_2^2 -2A_1A_2\cdot CA_2\cos\angle AA_2C }\\ &= \sqrt{ 27+75 -2\cdot3\sqrt3\cdot5\sqrt3\cdot\frac13 }\\ &= \sqrt{102-30} =\sqrt{72} =6\sqrt2. \end{aligned}$$

Для этого же треугольника по теореме косинусов окончательно вычислим: $$\begin{aligned} \cos\angle A_1CA_2 &= \frac{CA_1^2+CA_2^2-A_1A_2^2} {2CA_1\cdot CA_2}\\ &= \frac{72+75-27} {2\cdot6\sqrt2\cdot5\sqrt3}\\ &= \frac{120}{60\sqrt6} =\frac{2}{\sqrt6} =\frac{\sqrt6}{3}. \end{aligned}$$

$$\text{Ответ: } \text{б) } \frac{\sqrt6}{3}.$$