Тип 19 № 20866

Решение. Преобразуем исходное уравнение. Разложим числитель на множители: $$D = (3a - 1)^2 - 4\cdot(2a^2 - 2) = 9a^2 -6a + 1- 8a^2 + 8 = a^2- 6a +9 = (a-3)^2$$ $$x_1 = \frac{3a - 1 + a - 3}{2} = 2a - 2, x_2 = \frac{3a - 1 - a + 3}{2} =a + 1$$

Тогда, исходное уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} & a = \frac{1}{2}x - 1\\ & a = x - 1 \end{aligned}\right.\\ x^2 -3x - 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} & a = f(x) =\frac{1}{2}x - 1\\ & a = g(x) = x - 1 \end{aligned}\right.\\ x \neq 4; -1 \end{cases}$$

Построим графики данных функций в осях $xOa$ и отметим ключевые случаи:

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с графиком функции даёт ровно 1 решение исходного уравнения. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор пересекает графики в 1 точке.

Когда прямые $a = x - 1$ и $a = \frac{1}{2}x + 1$ пересекают вертикальные прямые $x = -1$ или $x= 4$, то исходное уравнение имеет либо 1, либо 0 решений.

От $a \in (-\infty; [1])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[1]$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение.

При $a \in ([1]; [2])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[2]$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение.

При $a \in ([2]; [3])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[3]$ исходное уравнение не будет решений.

При $a \in ([3]; +\infty)$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[1]$ прямая $a = x - 1$ пересекает прямую $x = -1$ в точке $(-1; -2) \Rightarrow a = -2$

В случае $[1]$ прямая $a = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает прямую $x = -1$ в точке $(-1; 0.5) \Rightarrow a = \frac{1}{2}$

Ответ: $\{-2; \tfrac{1}{2}\}$