Тип 14 № 20869

Решение.

а) Выполним преобразования: $$\begin{aligned} \log_6\left(\sqrt3\cos x+\sin 2x+6\right)=1 &\Longleftrightarrow \sqrt3\cos x+\sin 2x+6=6 \\ &\Longleftrightarrow \sqrt3\cos x+\sin 2x=0 \\ &\Longleftrightarrow \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0 \\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} \cos x&=0,\\ 2\sin x+\sqrt3&=0 \end{aligned} \right. \\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} \cos x&=0,\\ \sin x&=-\frac{\sqrt3}{2} \end{aligned} \right. \\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{2}+\pi k,\\ x&=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\\ x&=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \end{aligned} \right. \qquad k\in\mathbb Z. \end{aligned}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

$$\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$$ с помощью двойных неравенств.

Из первой серии корней: $$\begin{aligned} \pi \leq\frac{\pi}{2}+\pi k \leq\frac{5\pi}{2} &\Longleftrightarrow 2\pi\leq\pi+2\pi k\leq5\pi \\ &\Longleftrightarrow 1\leq2k\leq4 \\ &\Longleftrightarrow \frac12\leq k\leq2. \end{aligned}$$

Полученному промежутку соответствуют значения $k=1$ и $k=2$. Получаем корни

$$\frac{3\pi}{2} \quad\text{и}\quad \frac{5\pi}{2}.$$

Отберём корни из второй серии: $$\begin{aligned} \pi \leq-\frac{\pi}{3}+2\pi k \leq\frac{5\pi}{2} &\Longleftrightarrow 6\pi\leq12\pi k-2\pi\leq15\pi \\ &\Longleftrightarrow 8\leq12k\leq17 \\ &\Longleftrightarrow \frac23\leq k\leq\frac{17}{12}. \end{aligned}$$

Полученному промежутку соответствует значение $k=1$. Получаем корень

$$\frac{5\pi}{3}.$$

Отберём корни из третьей серии: $$\begin{aligned} \pi \leq-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \leq\frac{5\pi}{2} &\Longleftrightarrow 6\pi\leq12\pi k-4\pi\leq15\pi \\ &\Longleftrightarrow 10\leq12k\leq19 \\ &\Longleftrightarrow \frac56\leq k\leq\frac{19}{12}. \end{aligned}$$

Полученному промежутку соответствует значение $k=1$. Получаем корень

$$\frac{4\pi}{3}.$$

$$Ответ: а) \left\{\frac{\pi}{2}+\pi k;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ -\frac{2\pi}{3}+2\pi k:\ k\in\mathbb Z\right\};$$ $$б) \frac{4\pi}{3};\ \frac{3\pi}{2};\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{5\pi}{2}.$$