Тип 23 № 20872

Решение. Пусть $S$ ~ сумма, взятая в кредит. Так как долг убывает каждый месяц на фиксированную величину, то выплата состоит из набежавших за этот месяц процентов и фиксированной части $x$. Составим таблицу:

Так как после $n$-го месяца долг выплачен полностью, то

$$S-(n-1)x+0{,}01(S-(n-1)x) = x+0{,}01(S-(n-1)x) \quad\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow S-(n-1)x=x \quad\Longleftrightarrow\quad S=nx.$$

Из условия следует, что переплата по кредиту составляет $20\%$ от суммы, взятой в кредит, следовательно,

$$0{,}01S+0{,}01(S-x)+\ldots+0{,}01(S-(n-1)x) = 0{,}2S \quad\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow Sn-x\bigl(1+2+\ldots+(n-1)\bigr) = 20S \quad\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow Sn-\frac{S}{n}\cdot \frac{1+n-1}{2}\cdot(n-1) = 20S \quad\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow n-\frac{n-1}{2}=20 \quad\Longleftrightarrow\quad n=39.$$

Ответ: 39.