Тип 4 № 20877

Решение.

а) Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $C_1M$ и содержит ребро $BB_1$, то ребро $BB_1$ перпендикулярно прямой $C_1M$, следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно прямой $C_1M$, то есть в треугольнике $AA_1C_1$ прямая $C_1M$ является медианой и высотой, следовательно, треугольник $AA_1C_1$ — равнобедренный, где

$$AC_1=A_1C_1.$$

б) Так как $BB_1$ лежит в плоскости $\alpha$ и ребро $CC_1$ параллельно ребру $BB_1$, то ребро $CC_1$ параллельно плоскости $\alpha$ и расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ равно расстоянию от $C_1$ до плоскости $\alpha$.

Пусть $K$ и $K_1$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны, следовательно, прямая $KK_1$ параллельна ребру $AA_1$. Точки $H$ и $G$ — точки пересечения $KK_1$ с $C_1M$ и $C_1A$ соответственно. Треугольник $C_1K_1G$ подобен треугольнику $C_1A_1A$. Высота $C_1M$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, следовательно, искомое расстояние равно $C_1H$.

Тогда

$$A_1C_1=AC=20$$ и

$$A_1M=\frac12AA_1=16,$$ следовательно,

$$C_1M=\sqrt{A_1C_1^2-A_1M^2}=12.$$

А так как

$$\frac{C_1H}{C_1M} = \frac{C_1K_1}{C_1A_1} = \frac{CK}{CA} = \frac56,$$ то

$$C_1H=\frac56C_1M=10.$$

Ответ:

$$б)10.$$