Тип 4 № 20883

Решение.

а) Пусть $M$~--- середина ребра $BC$, $O$~--- центр основания, а $L$~--- проекция точки $K$ на отрезок $AO$.

Треугольники $AEF$ и $ABC$ подобны. Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{AF}{AB}=\frac{10}{12}=\frac56.$$

Поэтому отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$S_{AEF}=k^2S_{ABC} =\frac{25}{36}S_{ABC}.$$

Прямоугольные треугольники $KLA$ и $SOA$ также подобны. Их коэффициент подобия равен

$$k=\frac{AK}{AS} =\frac{15}{25} =\frac35.$$

Следовательно,

$$KL=\frac35SO.$$

Объём пирамиды $KAEF$ равен

$$V_{KAEF} =\frac13S_{AEF}\cdot KL.$$

Подставим найденные соотношения:

$$\begin{aligned} V_{KAEF} &=\frac13\cdot\frac{25}{36}S_{ABC}\cdot\frac35SO \\ &=\frac{5}{12}\left(\frac13S_{ABC}\cdot SO\right) \\ &=\frac{5}{12}V_{SABC}. \end{aligned}$$

Таким образом,

$$\boxed{V_{KAEF}=\frac{5}{12}V_{SABC}}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $AKE$ и $AKF$ равны, поэтому сечением пирамиды является равнобедренный треугольник $KEF$.

Пусть $H$~--- точка пересечения отрезков $EF$ и $AM$. Поскольку $EF\parallel BC$, точка $H$ является серединой $EF$. Поэтому отрезок $KH$ является высотой треугольника $KEF$.

Из подобия треугольников $AEF$ и $ABC$ следует:

$$EF=\frac56BC=\frac56\cdot12=10.$$

В равностороннем треугольнике $ABC$:

$$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot12 =6\sqrt{3}.$$

Из подобия треугольников $AEF$ и $ABC$:

$$AH=\frac56AM =\frac56\cdot6\sqrt{3} =5\sqrt{3}.$$

Центр равностороннего треугольника делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому

$$AO=\frac23AM =\frac23\cdot6\sqrt{3} =4\sqrt{3}.$$

Из подобия треугольников $KLA$ и $SOA$:

$$AL=\frac35AO =\frac35\cdot4\sqrt{3} =\frac{12\sqrt{3}}{5}.$$

Следовательно,

$$LH=AH-AL =5\sqrt{3}-\frac{12\sqrt{3}}{5} =\frac{13\sqrt{3}}{5}.$$

Найдём высоту $SO$ правильной пирамиды. В прямоугольном треугольнике $SOA$:

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}.$$

Подставим известные значения:

$$SO =\sqrt{25^2-(4\sqrt{3})^2} =\sqrt{625-48} =\sqrt{577}.$$

Поскольку

$$KL=\frac35SO,$$ получаем:

$$KL=\frac{3\sqrt{577}}{5}.$$

Треугольник $KLH$ прямоугольный, поэтому

$$KH=\sqrt{KL^2+LH^2}.$$

Следовательно,

$$\begin{aligned} KH &=\sqrt{ \left(\frac{3\sqrt{577}}{5}\right)^2 + \left(\frac{13\sqrt{3}}{5}\right)^2 } \\ &=\sqrt{ \frac{9\cdot577+169\cdot3}{25} } \\ &=\sqrt{\frac{5700}{25}} \\ &=\sqrt{228} \\ &=2\sqrt{57}. \end{aligned}$$

Площадь треугольника $KEF$ равна

$$S_{KEF}=\frac12EF\cdot KH.$$

Отсюда

$$S_{KEF} =\frac12\cdot10\cdot2\sqrt{57} =10\sqrt{57}.$$

Ответ:

$$б)10\sqrt{57}.$$