Решение. Система имеет ровно четыре решения тогда и только тогда, когда графики
её первого и второго уравнений имеют ровно четыре общие точки.
График функции
y=1−∣x−a∣
получается сдвигом графика функции y=−∣x∣ на одну единицу вверх
вдоль оси Oy и на ∣a∣ единиц вдоль оси Ox.
Преобразуем второе уравнение системы:
∣y∣+x2+2x=0.
Отсюда
∣y∣=−x2−2x.
Правая часть должна быть неотрицательной:
−x2−2x≥0.
Следовательно,
x(x+2)≤0,
то есть
x∈[−2;0].
Второе уравнение можно записать в виде совокупности:
{y≥0,y=−x2−2x,или{y<0,y=x2+2x.
Таким образом, графиком второго уравнения является объединение частей
парабол
y=−x2−2xиy=x2+2x,
построенных на отрезке
[−2;0].
Рассмотрим параболу
y=−x2−2x.
Пусть при a=a1 парабола касается левой ветви графика функции
y=1−∣x−a∣.
Левая ветвь задаётся уравнением
y=x−a+1,x<a.
Для нахождения точки касания решим уравнение
−x2−2x=x−a+1.
После преобразования получаем
x2+3x−(a−1)=0.
Для касания это квадратное уравнение должно иметь единственный корень,
поэтому его дискриминант равен нулю:
D1=9+4(a−1)=4a+5.
Следовательно,
4a+5=0,
откуда
a1=−45.
Абсцисса точки касания равна
x1=−23.
Условие x<a выполняется:
−23<−45.
Теперь найдём значение a2, при котором парабола касается правой
ветви графика функции y=1−∣x−a∣.
Правая ветвь задаётся уравнением
y=−x+a+1,x≥a.
Решим уравнение
−x2−2x=−x+a+1.
После преобразования получаем
x2+x+(a+1)=0.
Его дискриминант равен
D2=1−4(a+1)=−4a−3.
Для касания:
−4a−3=0,
следовательно,
a2=−43.
Абсцисса точки касания равна
x2=−21.
Условие x≥a выполняется:
−21≥−43.
Найденные точки касания
x1=−23,x2=−21
принадлежат отрезку
[−2;0].
При
a=−45,a=−1,a=−43
графики имеют ровно три общие точки.
При
−45<a<−1
и
−1<a<−43
графики имеют ровно четыре общие точки.
Если
a<−45илиa>−43,
то одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго
уравнения, а другая ветвь имеет с ним не более двух общих точек.
Поэтому остальные значения параметра не удовлетворяют условию.
Таким образом,
a∈(−45;−1)∪(−1;−43).
Ответ:
(−45;−1)∪(−1;−43).