Тип 16 № 20962

Решение:

Заметим, что $$0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}, \qquad 64 = 2^6, \qquad 16 = 2^4, \qquad 4 = 2^2.$$ Тогда $$0{,}125^x - 64 = (2^{-3})^x - 2^6 = 2^{-3x} - 2^6.$$ Знаменатель: $$16^x - 4^{x+1} + 4 = (2^4)^x - (2^2)^{x+1} + 2^2 = 2^{4x} - 2^{2x+2} + 4.$$ Так как $2^{2x+2} = 4\cdot 2^{2x}$, то знаменатель принимает вид: $$2^{4x} - 4\cdot 2^{2x} + 4 = (2^{2x})^2 - 4\cdot 2^{2x} + 4 = (2^{2x} - 2)^2.$$ Таким образом, неравенство равносильно: $$\frac{2^{-3x} - 2^6}{(2^{2x} - 2)^2} \leq 0.$$

По методу рационализации, так как основание $2 > 1$, знак $2^{-3x} - 2^6$ совпадает со знаком $(-3x) - 6 = -3x - 6$. Тогда: $$\frac{-3x - 6}{(x - \frac12)^2} \leq 0.$$ Умножим на $-\frac{1}{3}$ и поменяем знак неравенства: $$\frac{x + 2}{(x - \frac12)^2} \geq 0.$$

Ответ: $[-2; \tfrac12) \cup (\tfrac12; +\infty)$.