Решение:
Преобразуем уравнение, используя формулу приведения:
sin ( x − π 2 ) = − cos x . \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x. sin ( x − 2 π ) = − cos x . 4 cos 3 x − cos x = 0. 4\cos^3x - \cos x = 0. 4 cos 3 x − cos x = 0. cos x ( 4 cos 2 x − 1 ) = 0. \cos x(4\cos^2x - 1) = 0. cos x ( 4 cos 2 x − 1 ) = 0. cos x ( 2 cos x − 1 ) ( 2 cos x + 1 ) = 0. \cos x(2\cos x - 1)(2\cos x + 1) = 0. cos x ( 2 cos x − 1 ) ( 2 cos x + 1 ) = 0.
Получаем совокупность уравнений:
[ cos x = 0 , cos x = 1 2 , cos x = − 1 2 . \left[
\begin{aligned}
&\cos x = 0,\\
&\cos x = \frac{1}{2},\\
&\cos x = -\frac{1}{2}.
\end{aligned}
\right. cos x = 0 , cos x = 2 1 , cos x = − 2 1 .
Решим каждое:
cos x = 0 ⇒ x = π 2 + π k , k ∈ Z . \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. cos x = 0 ⇒ x = 2 π + π k , k ∈ Z . cos x = 1 2 ⇒ x = ± π 3 + 2 π k , k ∈ Z . \cos x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. cos x = 2 1 ⇒ x = ± 3 π + 2 π k , k ∈ Z . cos x = − 1 2 ⇒ x = ± 2 π 3 + 2 π k , k ∈ Z . \cos x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. cos x = − 2 1 ⇒ x = ± 3 2 π + 2 π k , k ∈ Z .
Таким образом,
x = π 2 + π k , ± π 3 + 2 π k , ± 2 π 3 + 2 π k , k ∈ Z . \boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k,\; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.} x = 2 π + π k , ± 3 π + 2 π k , ± 3 2 π + 2 π k , k ∈ Z .
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [ π ; 2 π ] [\pi; 2\pi] [ π ; 2 π ]
Итак, корни на отрезке [ π ; 2 π ] [\pi; 2\pi] [ π ; 2 π ] 4 π 3 , 3 π 2 , 5 π 3 . \frac{4\pi}{3},\quad \frac{3\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{3}. 3 4 π , 2 3 π , 3 5 π .
Ответ:
а) x = π 2 + π k , ± π 3 + 2 π k , ± 2 π 3 + 2 π k , k ∈ Z ; x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\; \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\; \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}; x = 2 π + π k , ± 3 π + 2 π k , ± 3 2 π + 2 π k , k ∈ Z ; 4 π 3 ; 3 π 2 ; 5 π 3 \dfrac{4\pi}{3};\; \dfrac{3\pi}{2};\; \dfrac{5\pi}{3} 3 4 π ; 2 3 π ; 3 5 π
