Тип 19 № 20986

Решение

$$(*) \begin{cases} x+3a \ge 0, \\ x-2a > 0, \\ 0 \le x \le 1. \end{cases}$$

Преобразуем уравнение: $$\sqrt{x+3a}\ln(x-2a) = (x-1)\ln(x-2a)$$ $$\ln(x-2a)\bigl(\sqrt{x+3a}-(x-1)\bigr)=0.$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\ln(x-2a)=0,\\ &\sqrt{x+3a}=x-1. \end{aligned} \right.$$

1. $\ln(x-2a)=0 \Rightarrow x-2a=1 \Rightarrow x=2a+1$.

Проверим условия $(*)$: $$\begin{cases} 0 \le 2a+1 \le 1, \\ (2a+1)+3a \ge 0, \\ (2a+1)-2a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -\frac12 \le a \le 0, \\ 5a+1 \ge 0, \\ 1>0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac15; 0\right].$$ При этих $a$ получаем корень $x=2a+1$.

1. $\sqrt{x+3a}=x-1$.

Так как $x\in[0;1]$, то $x-1\le 0$, а левая часть неотрицательна. Равенство возможно только при $x-1=0$, то есть $x=1$. Тогда $$1+3a=0 \Rightarrow a=-\frac13.$$ Проверим условия $(*)$ при $a=-\frac13,\; x=1$: $$1+3a=0\ge0,\qquad 1-2a=1+\frac23>0,$$ следовательно, $a=-\frac13$ даёт корень $x=1$.

Проверим совпадение корней: $$2a+1 = 1 \Rightarrow a=0.$$ При $a=0$ корни совпадают (оба дают $x=1$), поэтому дополнительных корней не возникает.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ при: $$a \in \left[-\frac15; 0\right] \cup \left\{-\frac13\right\}.$$

Ответ: $\left[-\frac15; 0\right] \cup \left\{-\frac13\right\}$.