Тип 20 № 20987

Решение:

а)

Могло ли среднее арифметическое чисел на доске уменьшиться?

Да, могло. Например, пусть 19 чисел равны 1, а одно число равно 50. Их среднее: $$\frac{19\cdot 1 + 50}{20} = \frac{69}{20} = 3{,}45.$$ Увеличим все числа на 1. Тогда 19 чисел станут равны 2, а одно число станет 51 и будет стёрто. На доске останется 19 чисел, равных 2. Их среднее: $$\frac{19\cdot 2}{19} = 2 < 3{,}45.$$ Следовательно, среднее арифметическое уменьшилось.

Ответ: да.

б)

Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равно 24, значит, их сумма равна $$20 \cdot 24 = 480.$$ Пусть $x$ — количество чисел, равных 50 (они после увеличения станут 51 и будут стёрты), а $y$ — количество остальных чисел, которые были увеличены на 1. Тогда количество оставшихся чисел равно $20 - x$, а их сумма равна $$480 - 50x + y.$$ (Исходная сумма $480$, стёртые числа $x$ штук по 50 дают вклад $-50x$, а увеличенные на 1 числа $y$ штук дают $+y$.)

Среднее арифметическое оставшихся чисел равно $$\frac{480 - 50x + y}{20 - x}.$$ Предположим, что оно равно 17: $$\frac{480 - 50x + y}{20 - x} = 17.$$ Тогда $$480 - 50x + y = 17(20 - x) = 340 - 17x,$$ откуда $$y = 33x - 140.$$ Так как $y \ge 0$, получаем $33x - 140 \ge 0$, значит $x \ge 5$ (поскольку $x$ целое). С другой стороны, $y$ не может превышать количество не-50 чисел, то есть $y \le 20 - x$. Подставим: $$33x - 140 \le 20 - x \quad\Rightarrow\quad 34x \le 160 \quad\Rightarrow\quad x \le 4.$$ Получили противоречие: $x \ge 5$ и $x \le 4$. Следовательно, среднее не может быть равно 17.

Ответ: нет.

в)

Снова сумма исходных чисел равна 480. Пусть $x$ — число пятёрок (которые станут 51 и сотрутся), а $y$ — число остальных увеличенных чисел. Тогда среднее оставшихся чисел равно $$d = \frac{480 - 50x + y}{20 - x}.$$ Чтобы минимизировать $d$, при каждом $x$ нужно взять минимальное $y$, то есть $y = 0$. Тогда $$d = \frac{480 - 50x}{20 - x}.$$ Так как все числа не превосходят 50, сумма $50x$ не может превышать 480, поэтому $x \le 9$ (при $x=10$ сумма уже $500 > 480$). Функция $$d(x) = \frac{480 - 50x}{20 - x}$$ убывает с ростом $x$ (можно проверить, взяв производную или просто сравнить значения). Наибольшее $x = 9$ даёт наименьшее $d$: $$d_{\min} = \frac{480 - 50\cdot 9}{20 - 9} = \frac{480 - 450}{11} = \frac{30}{11}.$$ Осталось показать, что такое $x$ достижимо. Возьмём 9 чисел, равных 50, и ещё 11 чисел, сумма которых равна 30 (например, 10 чисел по 2 и одно число 10). Тогда исходная сумма: $$9\cdot 50 + 10\cdot 2 + 10 = 450 + 20 + 10 = 480,$$ среднее равно 24. Увеличим только числа, равные 50, на 1; они станут 51 и сотрутся. Остальные числа не увеличиваем. Тогда на доске останутся 11 чисел: десять двоек и одна десятка. Их среднее: $$\frac{10\cdot 2 + 10}{11} = \frac{30}{11}.$$ Следовательно, наименьшее возможное среднее равно $\frac{30}{11}$.

Ответ: $\dfrac{30}{11}$.

Окончательные ответы:

а) да;

б) нет;

в) $\dfrac{30}{11}$.