Тип 18 № 21003

Решение:

а) Пусть $G$ -- точка пересечения прямых $AD$ и $BN$. Угол $CBG$ равен углу $DGN$ как накрест лежащие углы. Значит, треугольники $NCB$ и $NDG$ подобны по двум углам.

Коэффициент подобия:

$$\frac{DN}{NC} = \frac{DG}{BC} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2DG = BC$$

С другой стороны, так как $M$ середина $AD$:

$$BC = 2MD \Rightarrow 2MD = 2DG \Rightarrow MD = DG$$

Рассмотрим треугольник $CMG$. $GK$ -- его медиана. Выше мы доказали, что $MD = DG$, а значит $CD$ -- медиана в треугольнике $CMG$. Так как:

$$\frac{CN}{ND} = \frac{2}{1}$$

Точка $N$ является точкой пересечения медиан треугольника $CMG$. А значит $K$, $B$ и $N$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

б) По условию $AD = 4$, тогда $CD = 3AD = 12$, а $ND = \dfrac{CD}{3} = 4$.

Из доказанного в пункте а) $DG = MD = \dfrac{AD}{2} = 2$.

Из прямоугольного треугольника $NDG$ по теореме Пифагора:

$$NG = \sqrt{ND^2 + DG^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$$

Так как $N$ — точка пересечения медиан $KG$ и $CD$:

$$\frac{GN}{NK} = \frac{2}{1} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{2\sqrt{5}}{NK} = \frac{2}{1} \quad\Leftrightarrow\quad NK = \sqrt{5}.$$

Ответ: $KN = \sqrt{5}$.