Тип 16 № 21043

Решение

$$(*) \quad \begin{cases} x > 0 \\ \log_3x + 4 \neq 0 \\ \log_3(3x) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \log_3x \neq -4 \\ \log_3(3x) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{81} \\ 3x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{81} \\ x \neq \frac{1}{3} \end{cases}$$

Преобразуем исходное неравенство:

$$\frac{1}{\log_3x + 4} + \frac{2}{\log_3x + 1}\cdot \left(\frac{2}{\log_3x + 4} - 1\right) \leq 0$$

Пусть $t = \log_3x$. Тогда:

$$\frac{1}{t + 4} + \frac{2}{t + 1}\cdot \left(\frac{2}{t + 4} - 1\right) \leq 0$$

$$\frac{1}{t + 4} + \frac{2}{t + 1}\cdot \frac{2 - (t + 4)}{t + 4} \leq 0$$

$$\frac{1}{t + 4} + \frac{2}{t + 1}\cdot \frac{-t - 2}{t + 4} \leq 0$$

$$\frac{1}{t + 4} - \frac{2(t + 2)}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(t + 1) - 2(t + 2)}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$$

$$\frac{t + 1 - 2t - 4}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$$

$$\frac{-t - 3}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$$

$$\frac{t + 3}{(t + 1)(t + 4)} \geq 0$$

Решим методом интервалов:

Получаем: $$t \in (-4; -3] \cup (-1; +\infty)$$

Возвращаясь к $x$:

$$\begin{cases} -4 < \log_3x \leq -3 \\ \log_3x > -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^{-4} < x \leq 3^{-3} \\ x > 3^{-1} \end{cases}$$

$$x \in \left(\frac{1}{81}; \frac{1}{27}\right] \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем итоговый ответ:

$$x \in \left(\frac{1}{81}; \frac{1}{27}\right] \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$$

Ответ: $\left(\frac{1}{81}; \frac{1}{27}\right] \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$