Тип 14 № 21069

Решение:

а) $\log_2(x^2 - 2x) = \log_2 8$. Так как $8 > 0$, условие $x^2 - 2x > 0$ выполняется автоматически для найденных корней.

$$\log_2(x^2 - 2x) = 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 8 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (x - 4)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 4 \\ &x = -2 \end{aligned} \right.$$

б) Сравним числа:

$$\log_2 0{,}1 = -\log_2 10 < -\log_2 4 = -2,$$ то есть $\log_2 0{,}1 < -2$. Следовательно, $-2 > \log_2 0{,}1$.

Также $\log_2 13 < \log_2 16 = 4$, значит $4 > \log_2 13$.

Проверим принадлежность корней отрезку:

Для $x = -2$: $$\log_2 0{,}1 < -2 \quad\text{и}\quad -2 < \log_2 13 \quad\Rightarrow\quad -2 \in [\log_2 0{,}1; \log_2 13].$$

Для $x = 4$: $$4 > \log_2 13 \quad\Rightarrow\quad 4 \notin [\log_2 0{,}1; \log_2 13].$$

Таким образом, отрезку принадлежит только корень $-2$.

Ответ: а) $-2;\, 4$; б) $-2$.