Тип 18 № 21103

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём $AO$ и $BP$ медианы. Медиана треугольника делит его на два треугольника равных по площади. Отсюда получаем:

$$S_{ABO} = \frac{S_{ABD}}{2} = S_{ABP}$$

В треугольниках $ABO$ и $ABP$ есть общий элемент (треугольник) $AMB$. Его площадь равна в обоих треугольниках, следовательно $S_{AMP} = S_{MBO}$.

По такой же логике:

$$S_{BON} = S_{NCQ}$$

Откуда:

$$S_{BMN} = S_{MBO} + S_{NBO} = S_{AMP} + S_{NQC}$$

Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $BDC$. Их медианы пересекаются в точках $M$ и $N$ соответственно.

Тогда по свойству медиан в треугольнике:

$$AM = 2MO = 2ON = NC$$

Пусть $AC = 6a$.

Так как $P$ и $Q$ середины сторон $AD$ и $DC$ соответственно:

$$AP = PD = DQ = QC = 6\sqrt5$$

По теореме косинусов в треугольнике $NCQ$: $$NQ = \sqrt{NC^2 + CQ^2 - 2\cdot NC \cdot CQ \cdot \cos (\angle NCQ)}$$

Из прямоугольного треугольника $DOC$: $$\cos (\angle NCQ) = \frac{CO}{DC} = \frac{3a}{12\sqrt5} = \frac{a\sqrt5}{20}$$

Подставим в формулу:

$$NQ = \sqrt{(2a)^2 + (6\sqrt5)^2 - 2\cdot 2a \cdot 6\sqrt5 \cdot \frac{a\sqrt5}{20}} =$$ $$=\sqrt{4a^2 + 180 -6a^2} = \sqrt{180 - 2a^2}$$

По условию в пятиугольник $MPDQN$ можно вписать окружность. Значит, она будет касаться его сторон ровно в одной точке. В частности, она будет касаться стороны $MN$, которая является часть стороны $NA$ четырехугольника $ADQN$. Отсюда следует, что в четырехугольник $ADQN$ вписана эта же окружность, откуда:

$$AN + DQ = AD + NQ \Leftrightarrow4a + 6\sqrt5 = 12\sqrt5 + \sqrt{180 - 2a^2} \Leftrightarrow$$ $$4a - 6\sqrt5 = \sqrt{180 - 2a^2}$$

Учитывая, что $4a -6\sqrt5 \geq 0 \Leftrightarrow a \geq \frac{3\sqrt5}{2}$, получаем:

$$16a^2 - 48\sqrt5a + 180 = 180 - 2a^2 \Leftrightarrow18a^2 -48\sqrt5a = 0 \Leftrightarrow 3a^2 - 8\sqrt5a = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(3a - 8\sqrt5) = 0 \Leftrightarrow a = 0 \quad a = \frac{8\sqrt5}{3}$$

Учитывая $a \geq \frac{3\sqrt5}{2}$: $$a = \frac{8\sqrt5}{3}$$

Тогда:

$$AO = 3a = 8\sqrt5$$

Из прямоугольного треугольника $AOD$: $$OD = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{720 - 320} = 20$$

Окружность, вписанная в четырехугольник $ANQD$, вписана также в треугольник $ADC$.

Площадь треугольника связана с радиусом вписанной в него окружности следующей формулой:

$$S_\triangle = p\cdot r$$

Откуда:

$$r = \frac{S_{ADC}}{p_{ADC}} \Leftrightarrow r = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot AC \cdot DO}{\tfrac{1}{2}\cdot(AD + DC + AC)} = \frac{16\sqrt5\cdot20}{12\sqrt5 + 12\sqrt5 + 8\sqrt5} = \frac{320\sqrt5}{40\sqrt5} = 8$$

Ответ: 8