Тип 20 № 21105

Решение:

Общее среднее всех чисел равно $$\frac{8\cdot 5 + 8\cdot 4 + 8\cdot 3}{24} = \frac{40+32+24}{24} = \frac{96}{24} = 4.$$

а)

Приведём пример разбиения, при котором среднее арифметическое всех чисел (равное $4$) меньше $A+B$.
Возьмём в первой группе все восемь пятёрок, а во вторую поместим все четвёрки и тройки. Тогда $$A = 5,\qquad B = \frac{8\cdot 4 + 8\cdot 3}{16} = \frac{32+24}{16} = \frac{56}{16} = 3{,}5.$$ Следовательно, $$A+B = 8{,}5 > 4,$$ то есть условие выполнено.

б)

Пусть группы содержат по $12$ чисел. Тогда сумма чисел в первой группе равна $12A$, во второй — $12B$. Общая сумма всех чисел равна $24\cdot 4 = 96$. Значит, $$12A + 12B = 96 \quad\Longrightarrow\quad A + B = 8 \quad\Longrightarrow\quad \frac{A+B}{2} = 4.$$ Таким образом, среднее арифметическое всех чисел равно $\dfrac{A+B}{2}$.

в)

Если в каждой группе числа $3$ и $5$ встречаются поровну, то средние обеих групп равны $4$, и $\frac{A+B}{2}=4$.

Пусть теперь в некоторой группе троек больше, чем пятёрок. Назовём её первой, её среднее $A<4$. Пусть в ней $n$ чисел, из них $x$ троек, $y$ пятёрок и $z$ четвёрок. Тогда $$x+y+z=n,\qquad x>y.$$ Сумма чисел в этой группе: $$S=3x+4z+5y=4n-x+y.$$ Так как $x>y$, то $x-y\ge 1$, значит $$S\le 4n-1,\quad \text{откуда}\quad A=\frac{S}{n}\le 4-\frac1n.$$ Вторая группа непуста, поэтому $n\le 23$, следовательно $$A\le 4-\frac1{23}=\frac{91}{23}.$$ Кроме того, $B\le 5$, так как все числа не больше $5$. Значит, $$\frac{A+B}{2}\le \frac{\frac{91}{23}+5}{2}=\frac{103}{23}=4\frac{11}{23}.$$ Равенство достигается, например, при разбиении: в первой группе $8$ троек, $7$ пятёрок и $8$ четвёрок ($23$ числа, среднее $\frac{91}{23}$), во второй — одна пятёрка ($B=5$). Тогда $$\frac{A+B}{2}=\frac{\frac{91}{23}+5}{2}=4\frac{11}{23}.$$

Ответ: $\boxed{4\frac{11}{23}}$.