Тип 20 № 21119

Решение:

Да, могло. Например, рассмотрим числа от $26$ до $116$ включительно. Среди них числа, кратные $25$: $50, 75, 100$ --- всего $3$ числа. Числа, кратные $29$: $29, 58, 87, 116$ --- всего $4$ числа. Условие $3 < 4$ выполнено.

Следовательно, да, такое могло быть.

б)

Нет, не могло. Разобьём все записанные числа на группы по $25$ последовательных чисел, начиная с первого числа. В каждой полной группе ровно одно число делится на $25$. Последняя группа может быть неполной и может не содержать числа, кратного $25$. Если чисел, кратных $25$, ровно $10$, то таких групп не больше $10$, а общее количество чисел не превосходит $$10 \cdot 25 + 24 = 274.$$

Рассмотрим крайние числа, кратные $29$. Пусть это $29m$ и $29n$ ($m < n$). Так как чисел, кратных $29$, должно быть больше $10$, то есть хотя бы $11$, то $n - m \ge 10$. Тогда разность между ними: $$29n - 29m = 29(n - m) \ge 29 \cdot 10 = 290.$$ Но в промежутке длиной $274$ чисел разность между крайними не может превышать $273$. Противоречие. Значит, $10$ чисел, кратных $25$, быть не может.

Следовательно, нет, не могло.

в)

Пусть среди записанных чисел ровно $x$ чисел, кратных $25$. Тогда по аналогии с пунктом б) общее количество чисел $k$ не превосходит $$k \le 25x + 24.$$ С другой стороны, чисел, кратных $29$, должно быть хотя бы $x + 1$ (так как их больше, чем кратных $25$). Пусть крайние из них равны $29m$ и $29n$, тогда $n - m \ge x$. Следовательно, разность между крайними числами, кратными $29$, не меньше $$29(n - m) \ge 29x.$$ Значит, общее количество чисел $k$ должно быть не меньше $29x + 1$: $$k \ge 29x + 1.$$ Объединяя неравенства: $$29x + 1 \le k \le 25x + 24.$$ Отсюда: $$29x + 1 \le 25x + 24 \quad\Leftrightarrow\quad 4x \le 23 \quad\Leftrightarrow\quad x \le 5.$$ Тогда $$k \le 25 \cdot 5 + 24 = 149.$$ Осталось показать, что $k = 149$ достижимо. Возьмём числа от $26$ до $174$ включительно. Всего чисел: $$174 - 26 + 1 = 149.$$ Среди них числа, кратные $25$: $50, 75, 100, 125, 150$ --- всего $5$ чисел. Числа, кратные $29$: $29, 58, 87, 116, 145, 174$ --- всего $6$ чисел. Условие $5 < 6$ выполнено.

Следовательно, наибольшее возможное значение $k$ равно $149$.

Ответ:

а) да;

б) нет;

в) $149$.