Тип 18 № 22608

Решение:

а) По свойству вписанных углов $\angle CAK = \angle ABM$, $\angle BAK = \angle KBM$. Так как по условию $\angle CAK = \angle BAK$.

Откуда:

$$\angle MCB = \angle MBC$$

Значит, треугольник $BMC$ -- равнобедренный, что и требовалось доказать.

б)

Найдём радиус описанной около треугольника $KMC$ окружности через теорему синусов. Для этого найдём $KC$ и синус угла $KMC$.

По свойству биссектрисы в треугольнике $ABC$:

$$\frac{BK}{KC} = \frac{BA}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

Откуда:

$$\frac{BC - KC}{KC} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{7}{KC} - 1 = \frac{4}{3} \Leftrightarrow KC = 3 \Rightarrow BK = 4$$

Углы $ABC$ и $AMC$ равны, так как опираются на одну дугу.

Так как в треугольнике $ABC$ нам известны все стороны, найдём косинус угла $ABC$ по теореме косинусов:

$$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \cos \angle ABC = \frac{AC^2 - BC^2 - AB^2}{-2\cdot AB \cdot BC} = \frac{7^2 + 8^2 - 6^2}{2\cdot 7 \cdot 8} = \frac{77}{112} = \frac{11}{16}$$

Откуда $\sin \angle ABC = \sin \angle AMC = \sqrt{1 - \tfrac{121}{256}} = \sqrt{\frac{135}{256}} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$

Найдём радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$:

$$R = \frac{KC}{2\sin \angle AMC} = \frac{3}{2\cdot \tfrac{3\sqrt{15}}{16}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$$

Ответ: $\frac{8\sqrt{15}}{15}$